Jak najít derivaci rovnice kružnice

Rovnice kružnice je jednou z nejzákladnějších rovnic v geometrii. Představuje důležitý nástroj pro studium vlastností kružnic. Ale co když musíme najít derivát této rovnice?

Derivace rovnice kružnice může být užitečná v různých úkolech, například k určení rychlosti změny poloměru kružnice nebo k nalezení tečen a normálů k obvodu. Abychom našli derivaci rovnice kružnice, budeme muset použít několik matematických technik a vzorců.

Jedním z klíčových pojmů, které budeme potřebovat, je koncept odvozené funkce. Derivace funkce ukazuje, jak rychle se hodnota funkce mění, když se mění její argument. Pro nalezení derivační rovnice kružnice budeme odlišovat každou proměnnou jednotlivě, vezmeme-li v úvahu, že poloměr kružnice je konstantní hodnota.

Určení odvozeného obvodu

Derivát kružnice je definován jako rychlost změny jejího poloměru ve vztahu k času. Jinými slovy, derivát ukazuje, jak rychle se mění poloměr kružnice, když se mění čas.

K určení odvozeného obvodu lze použít vzorec diferenciace. Řekněme, že rovnice kružnice je nastavena jako x^2 + y^2 = r^2, kde x a y jsou souřadnice bodu na kružnici a r je poloměr kružnice. Rozlišením obou částí této rovnice proměnnou času můžeme získat výraz pro derivaci složek kružnice.

Derivát x-souřadnice kružnice podle času (dx/dt) se rovná rychlosti změny x-souřadnice bodu na kružnici. Stejně tak derivát y-souřadnice kružnice podle času (dy/dt) ukazuje rychlost změny y-souřadnice bodu na kružnici. Derivát rovnice kružnice lze tedy zapsat jako:

dx/dt = (-2x*dx/dt)/2y = -x(dy/dt)/y

dy/dt = (-2y*dx/dt)/2x = -y(dx/dt)/x

Tyto výrazy umožňují najít poměr mezi rychlostmi změny souřadnic bodu na kružnici. Kromě toho, když znáte deriváty X a Y souřadnic, můžete pomocí poměru určit derivaci poloměru kružnice (dr/dt) :

dr/dt = (dx/dt)/2x = (dy/dt)/2y

Derivát kružnice tedy umožňuje určit, jak se mění jeho poloměr vzhledem k času a jak rychlost bodu na kružnici závisí na změně souřadnic.

Parametrická rovnice kružnice

Parametrická rovnice kružnice má následující tvar:

• x = a + r * cos(t)
• y = b + r * sin(t)

Kde X a y jsou souřadnice bodu na kružnici, a A b jsou souřadnice středu kružnice, R je poloměr kružnice, T je parametr vybraný v intervalu 0 až 2π (nebo 0 až 360 stupňů).

Zadáním různých hodnot parametru t lze tedy získat souřadnice různých bodů na kružnici. Obvodová rovnice v parametrickém tvaru je zvláště vhodná při řešení problémů souvisejících s pohybem po obvodu a při stavbě oblouků a obloukových úseků.

Algebraická rovnice kružnice

Kružnici v rovině lze popsat algebraickou rovnicí, což je rovnice druhu:

kde (a, b) jsou souřadnice středu kružnice a r je poloměr kružnice.

Tato rovnice je pravidlem, které umožňuje určit všechny body ležící na kružnici. K tomu je nutné vložit hodnotu souřadnic bodu (x, y) a poloměru r do rovnice a zkontrolovat ji.

Pokud je například dána kružnice se středem (3, 4) a poloměrem 5, pak její algebraická rovnice bude vypadat jako:

K nalezení odvozené rovnice kružnice je nutné ji rozšířit proměnnými x a y. po diferenciaci dostaneme rovnici, která umožňuje najít úhlový koeficient tečny k obvodu v každém bodě.

Algebraická rovnice kružnice hraje důležitou roli v geometrii a matematice, protože umožňuje popisovat a analyzovat vlastnosti kružnic a řešit problémy s nimi spojené.

Proces hledání derivace

Pokud má rovnice kružnice tvar (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2, kde a A b jsou souřadnice středu kružnice, R je poloměr, pak bude proces nalezení derivátu následující:

1. Otevřete závorky a přeneste všechny složené do levé části rovnice, abyste získali kružnicovou rovnici v kanonické podobě: x2 - 2ax + A2 + y2 - 2BY + b2 = r2.
2. Zapište každou funkci: f (x) = x2 - 2ax + A2 + y2 - 2BY + b2 - r2 = 0.
3. F'(x) = 2x-2a + 0 + 0 - 0 + 0 = 2x-2a.
4. Výsledný výraz je derivací rovnice kružnice a ukazuje úhlový koeficient tečny v každém bodě kružnice. Chcete-li najít sklon tečny, můžete vypočítat hodnotu derivace ve správném bodě zástupem souřadnic tohoto bodu do vzorce.

Zvláštností derivační rovnice kružnice je, že derivát není závislý na proměnné y a je vždy roven úhlovému koeficientu tečné podél osy x.

Proces hledání odvozené rovnice kružnice tedy umožňuje určit úhlový koeficient tečné a její sklon v každém bodě kružnice.

Použití parametrické rovnice

K nalezení odvozené rovnice kružnice lze použít parametrickou rovnici kružnice. Parametrická rovnice je systém rovnic, kde jsou souřadnice bodů na kružnici vyjádřeny prostřednictvím parametrů.

Nechť x a y jsou souřadnice bodů na kružnici a r je poloměr kružnice. Pak lze parametrickou rovnici kružnice zapsat následovně:

Zde je t parametr, který může mít hodnoty od 0 do 2π (nebo od 0 do 360°). Když se hodnota parametru t zvýší, bod se bude pohybovat po obvodu.

Chcete-li najít odvozenou rovnici kružnice podle parametru t, můžete parametrické rovnice jednoduše diferencovat podle T. výsledkem jsou deriváty dx/dt a dy/dt, které se rovnají derivátům X a y.

Deriváty dx/dt a dy / dt lze interpretovat jako rychlosti změny souřadnic bodů na kružnici podle parametru T. umožňují najít tečné vektory k obvodu, což může být užitečné při řešení určitých problémů.

Použití algebraické rovnice

Aby bylo možné najít derivát rovnice kružnice, je nutné diferencovat každou spojitou rovnici podle proměnných x a y:

• Rozlišujeme (x - a)^2 až x: 2 (x - a)
• Rozlišujeme (y - b)^2 až y: 2 (y-b)
• Rozlišujeme r^2 na libovolnou proměnnou: 0

Po diferenciaci slagovaných se výsledné hodnoty sečtou, aby se vytvořila odvozená rovnice kružnice:

(x - a) * 2 + (y - b) * 2 = 0

2x - 2a + 2y - 2b = 0

Výsledná rovnice je rovnice přímky tečné k obvodu v bodě (a, b).

Příklady hledání derivátů

Příklad 1:

Dána rovnice kružnice: x^2 + y^2 = r^2, kde r - poloměr kruhu. Najdeme derivát této rovnice podle proměnné x.

Nejprve vezmeme derivát levé části: d/dx (x^2 + y^2) = d/dx (r^2). Dostávat: 2x + 2y * dy/dx = 0.

Všimněme si, že dy/dx - je to odvozená funkce y podle proměnné x. Vzhledem k tomu, že jsme na hranici obvodu, funkce y může být vyjádřena pouze proměnnou x. Tedy, dy/dx = 0.

Nastražíme hodnotu dy/dx = 0 do rovnice: 2x + 2y * 0 = 0. Zjednodušíme výraz: 2x = 0.

Z toho vyplývá, že pro derivaci rovnice kružnice podle proměnné x splněna podmínka: 2x = 0.

Příklad 2:

Dána rovnice kružnice: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, kde a a b - souřadnice středu kruhu. Najdeme derivát této rovnice podle proměnné x.

Nejprve vezmeme derivát levé části: d/dx ((x - a)^2 + (y - b)^2) = d/dx (r^2). Dostávat: 2(x - a) + 2(y - b) * dy/dx = 0.

Podobně jako předchozí příklad, dy/dx = 0 protože jsme na hranici kruhu.

Nastražíme hodnotu dy/dx = 0 do rovnice: 2(x - a) + 2(y - b) * 0 = 0. Zjednodušíme výraz: 2(x - a) = 0.

Z toho vyplývá, že pro derivaci rovnice kružnice podle proměnné x splněna podmínka: 2(x - a) = 0.

Deriváty kružnicových rovnic podle proměnné x na jejich hranicích je nulová.

Příklad 1: nalezení derivace pomocí parametrické rovnice

Kružnici lze nastavit parametrickou rovnicí, kde hodnoty souřadnic bodů kružnice závisí na parametru (obvykle označeném jako t). K nalezení derivace budeme potřebovat rovnice popisující každou ze souřadnic bodu kružnice v závislosti na parametru T.

Zvažte obvod s poloměrem r a středem v bodě (a, b). Parametrická rovnice kružnice bude vypadat následovně:

Abychom našli derivát kružnice,musíme najít deriváty těchto rovnic podle parametru T. K tomu se používá řetězové pravidlo diferenciace.

Diferenciací rovnice x = a + r * cos (t) podle parametru t dostaneme:

Stejně tak diferenciací rovnice y = b + r * sin (t) podle parametru t dostaneme:

Tímto způsobem jsme získali výrazy pro odvozené souřadnice x a y v závislosti na parametru T. Tyto deriváty nám umožňují najít rychlost změny souřadnic bodu kružnice v průběhu času.