Kvadratické rovnice - je to jeden z hlavních objektů studia v algebře. Nacházejí široké uplatnění v různých vědeckých disciplínách, zejména ve fyzice a inženýrství. Poměry takové rovnice mohou být reprezentovány různými způsoby, včetně jejích kořenů. Naučit se poměry podle daných kořenů je úkol, který lze vyřešit pomocí speciální techniky.
Metoda hledání koeficientů kvadratické rovnice podle jejích kořenů je založena na použití vzorce vieta. Podle tohoto vzorce, pokud má kvadratická rovnice kořeny x1 a x2, koeficienty lze nalézt podle následujících vzorců:
Příklad. Je dána kvadratická rovnice 2x 2-7x + 3 = 0. Najdeme koeficienty a, b, c podle známých kořenů. Předpokládejme, že kořeny rovnice jsou X1 = 1 a x2 = 3/2. Použitím vzorce vieta získáme:
b = - (1 + 3/2) = -5/2
c = 1 * 3/2 = 3/2
Koeficienty této kvadratické rovnice jsou tedy: a = 1, b = -5/2, c = 3/2. Můžeme tedy představit původní kvadratickou rovnici zcela jako a = 1, b = -5/2, c = 3/2.
Metoda hledání koeficientů kvadratické rovnice podle jejích kořenů
Pokud jsou uvedeny kořeny kvadratické rovnice x₁ a x₂, pak lze koeficienty a, b A c nalézt pomocí následujících vzorců:
Uvedené vzorce jsou založeny na vlastnostech kvadratických rovnic a Vietově metodě - jedné z teorémů matematické analýzy. Podle těchto vzorců lze snadno vypočítat koeficienty, protože znáte pouze hodnoty kořenů.
Vezměme si příklad pro názornost:
Jsou uvedeny kořeny kvadratické rovnice x₁ = 2 a x₂ = -3. Najdeme koeficienty a, b A c:
Kvadratická rovnice s kořeny x₁ = 2 a x₂ = -3 má tedy tvar x2 + x - 6 = 0.
Metoda nalezení koeficientů kvadratické rovnice podle jejích kořenů umožňuje provádět reverzní výpočty a je vhodná pro použití v různých úkolech, jako je hledání kořenů nebo řešení systému rovnic.
Krok 1: Najděte součet kořenů
Koeficienty kvadratické rovnice popisují jeho vztah k kořenům. Před hledáním koeficientů je nutné vypočítat součet kořenů kvadratické rovnice.
Pro kvadratickou rovnici druhu ax 2 + bx + c = 0, součet kořenů se vypočítá podle vzorce: -b/a.
Například pro rovnici 2x 2 - 5x + 3 = 0, kde a = 2, b = -5 a c = 3, součet kořenů bude roven: -(-5)/2 = 5/2 = 2.5.
Nalezení součtu kořenů je prvním krokem při určování koeficientů kvadratické rovnice podle jejích kořenů.
Krok 2: Najděte součin kořenů
Chcete-li najít součin kořenů kvadratické rovnice, musíte postupovat podle následujících kroků:
- Vytvořte kvadratickou rovnici v obecné podobě: ax^2 + bx + c = 0, kde a, b A c jsou koeficienty rovnice.
- Vyřešit rovnici a najít kořeny. Označíme kořeny jako x1 a x2.
- Vypočítat součin kořenů: x1 * x2.
Zvažte kvadratickou rovnici 2x^2 + 5x - 3 = 0.
Při řešení rovnice najdeme dva kořeny: x1 = 0.5 a x2 = -3. Vezměme si jejich dílo:
x1 * x2 = 0.5 * -3 = -1.5.
Součin kořenů této rovnice je tedy -1.5.
Krok 3: vyjádřit koeficienty součtem a součinem kořenů
Pro kvadratickou rovnici obecného druhu ax² + bx + c = 0 s kořeny x₁ a x₂, součet kořenů je roven x₁ + x₂ = -b/a a součin kořenů se rovná x₁ * x₂ = c/a.
Tímto způsobem můžeme vyjádřit koeficienty a, b a c součtem a součinem kořenů podle následujících vzorců:
Vložením hodnot kořenů do těchto vzorců získáme numerické hodnoty pro koeficienty kvadratické rovnice.
Například nechť je dána kvadratická rovnice x² - 5x + 6 = 0 s kořeny x₁ = 2 a x₂ = 3. Vložením hodnot do vzorců získáme:
Koeficienty kvadratické rovnice jsou tedy stejné a = 1, b = -5 a c = 6.