V cukrárně s řadou 11 různých koláčů si každý sladkobolný dort určitě najde něco podle své chuti. Představte si sladkou polici, kde vypadají šťavnaté ovocné tartaletky, lehké eclery s jemnými polevami, krémové čokoládové polevy a mnoho dalších možností. Zde můžete strávit spoustu času výběrem, protože každý bonbón má svou vlastní jedinečnou texturu, chuť a vzhled.
Ale představme si, že máme omezení - můžeme si vybrat pouze 6 různých koláčů. Kolik možností na výběr máte? V tomto úkolu řešíme kombinační problém kombinací bez opakování. Použitím kombinací vypočítáme všechny možné uspořádané kombinace 6-elementární podmnožiny z mnoha 11 různých koláčů.
K vyřešení tohoto problému můžeme použít vzorec kombinací bez opakování: C(11,6) = 11!/(6!(11-6)!), kde je 11! označuje faktoriál čísla 11 (tj. 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1), A C (11,6) - počet kombinací 6 prvků z 11. Po sečtení hodnot a výpočtu zjistíme, že existuje 462 různých možností výběru 6 koláčů.
Možnosti výběru v cukrárně
Cukrárna s řadou 11 různých koláčů poskytuje zákazníkům mnoho možností, jak si vybrat a užít si. Shrnutím všech možných kombinací můžete zjistit, kolik způsobů můžete vybrat 6 různých koláčů z tohoto obchodu.
1. Za předpokladu, že pořadí vybraných koláčů je irelevantní, pak možností výběru 6 koláčů bude kombinace 11 až 6:
- Možnosti výběru: C(11,6) = 462
2. Za předpokladu, že pořadí vybraných koláčů záleží, pak možností výběru 6 koláčů bude umístění 11 až 6:
- Možnosti výběru: A(11,6) = 665280
Je velmi důležité si uvědomit, že každý koláč je považován za jedinečný, takže zvolené kombinace jsou opravdu odlišné.
V cukrárně se sortimentem 11 dortů je k dispozici 462 různých kombinací, záleží-li pouze na samotném složení vybraných koláčů, a 665280 různých umístění, záleží-li také na pořadí jejich výběru.
Počet kombinací
Pro výpočet počtu kombinací různých koláčů, které si můžete vybrat v cukrárně se sortimentem 11, se používá vzorec kombinatoriky. Pro tento úkol je vhodný vzorec pro kombinaci bez opakování:
Cn k = n! / k!(n - k)!
V tomto případě musíme vybrat 6 z 11 různých koláčů, takže hodnoty vložíme do vzorce:
C11 6 = 11! / 6!(11 - 6)!
- 11! = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 39 916 800;
- 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720;
- (11 - 6)! = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Vložíme výsledné hodnoty do vzorce:
C11 6 = 39 916 800 / 720 * 120 = 4620.
V cukrárně se sortimentem 11 různých koláčů si tak můžete vybrat ze 6 různých koláčů celkem 4620 různých způsobů.
Matematický výpočet
K řešení tohoto problému můžeme použít kombinatoriku. V tomto případě musíme vybrat 6 koláčů ze sortimentu 11, přičemž každý koláč by měl být jiný.
Tento úkol je řešen pomocí vzorce kombinací:
kde n je počet prvků v množině (v našem případě 11), k je počet prvků, které musíme vybrat (6 v našem případě), a ! označuje faktoriál, tedy součin všech přirozených čísel od 1 do daného čísla.
Vložením hodnot do vzorce získáme:
Další výpočty lze provést pomocí kalkulačky nebo matematického softwaru.