Když Míša začne zapisovat čísla od 1 do 1995, je položena otázka: kolikrát bude muset napsat číslici 0? Abychom na tuto otázku odpověděli, musíme zvážit každé číslo od 1 do 1995 a spočítat, kolikrát se v něm vyskytuje číslice 0.
Abychom našli počet číslic 0 v každém čísle, rozdělíme každé číslo na jednotlivá čísla. Například číslo 156 je rozděleno na čísla 1, 5 a 6. Poté zkontrolujeme každou číslici: pokud je rovna 0, počítáme tento výskyt. Tím, že to uděláme pro každé číslo od 1 do 1995, budeme schopni zjistit celkový počet výskytů číslice 0.
Začněme tedy od prvního čísla-1. Toto číslo nemá číslici 0, takže počet výskytů čísla 0 se rovná 0. Budeme pokračovat s číslem 2, 3, 4 a tak dále, dokud se nedostaneme k číslu 10. Číslo 10 má jednu číslici 0, takže počítadlo se zvýší o 1. Pak pokračujeme s číslem 11, 12, 13 a tak dále, dokud nedosáhneme čísla 20. Číslo 20 má také jednu číslici 0, takže počítadlo se zvýší o 1. V tomto procesu budeme moci spočítat, kolikrát Misha napíše číslici 0 při zápisu čísel od 1 do 1995.
Obecné informace
K vyřešení tohoto problému je nutné analyzovat každou číslici od 1 do 1995 a určit, kolikrát se číslice 0 vyskytuje.
Číslo 1995 lze rozdělit do tří pásem: stovky (100-199, 200-299, atd.), desítky (10-19, 110-119, 210-219, atd.) a jednotky (1-9, 11-19, 21-29, atd.).
V každém rozsahu se počet nul může lišit. Například stovky mohou obsahovat 9 nul (100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108), a desítky-19 nul (10, 20, 30, . 90, 110, 120, 130, . 190).
K vyřešení problému je nutné sčítat počet nul z každého rozsahu a získat celkový počet nul, které Míša napíše při zápisu od 1 do 1995.
Počet číslic 0 v zápisu všech čísel od 1 do 1995
Abychom tento problém vyřešili, musíme zvážit každé číslo od 1 do 1995 a spočítat, kolikrát se v něm vyskytuje číslice 0.
V první desítce čísel (1 až 10) vidíme, že číslo 0 se vyskytuje 1krát v čísle 10.
V rozsahu čísel od 10 do 19 (celkem 10 čísel) se číslice 0 také vyskytuje 1krát v čísle 10.
V desítce čísel od 20 do 29 se číslice 0 vyskytuje také 1krát v čísle 20.
Jak se čísla zvyšují, vidíme, že číslice 0 se bude vyskytovat 10krát v číslech 30-39, 40-49 a tak dále na čísla 90-99.
Takže do 100 včetně se číslice 0 bude setkávat 1 + 1 + 1 + 10 krát = 13 krát.
Číslo 100 obsahuje 2 číslice 0, takže celkový počet číslic 0 v číslech od 1 do 100 je 13 + 2 = 15.
Dále si můžeme všimnout, že v každé stovce se číslice 0 bude vyskytovat tolikrát, kolikrát se setkala až 100 (tj. 15krát).
U čísel od 101 do 199 se tedy číslice 0 vyskytuje také 15krát.
Pokračujeme v této šabloně pro každou stovku čísel.
Takže až do 1000 včetně se číslice 0 bude vyskytovat 15 * 10 = 150krát.
Pak si můžeme všimnout, že v číslech od 1001 do 1999 se číslice 0 bude vyskytovat tolikrát, kolikrát se setkala až do 1000 (tj. 150krát).
Celkový počet číslic 0 v zápisu všech čísel od 1 do 1995 je tedy 15 + 150 = 165.
Metodika počítání
K určení počtu číslic 0 zaznamenaných Míšou při zápisu čísel od 1 do 1995 lze použít následující metodu:
1. Rozdělíme tento rozsah na dílčí pásma: 1-99, 100-199, 200-299,. 1900-1995.
2. V každém podpásovém pásmu se zaměříme na dvě místa, kde se může setkat číslice 0:
i. jednotky: číslo 0 může stát na tomto místě pouze pro čísla končící na 10, 20, 30,. , 90. Takových čísel bude v každém pododstavci 10.
ii. Desítky: číslo 0 může stát na tomto místě pouze pro čísla začínající malými nulami, jako je 100, 200,. , 1900. Tato čísla budou 1 v každém pásmu.
3. Vzhledem ke dvěma místům, kde se může setkat číslice 0, můžeme nastavit obecný vzorec pro počítání:
Počet číslic 0 = Počet čísel končících na 0 (jednotky) + počet čísel začínajících na 0 (desítky).
4. Použitím tohoto vzorce pro každé dílčí pásmo a sečtením všech výsledků získáme konečný počet číslic 0 zaznamenaných Míšou při zápisu čísel od 1 do 1995.
Příklad výpočtu:
Pro dílčí pásmo 1-99:
Počet čísel končících na 0 (jednotky) = 10 (10, 20, . 90)
Počet čísel začínajících 0 (desítky) = 0
Počet číslic 0 v tomto podpásovém pásmu = 10 + 0 = 10.
Stejně tak můžeme provést výpočty pro zbývající dílčí pásma a získat konečný výsledek.
Pomocí této metody tedy můžeme určit, kolikrát Misha napíše číslici 0 při zápisu čísel od 1 do 1995.