Na rovině bylo označeno 6 bodů, byly spojeny úsečemi-kolik úseků se stalo?

Šest bodů umístěných v rovině nám poskytuje vzrušující geometrický úkol. Ptáme se: kolik úseků by vyšlo, kdyby se každé dva body spojily? Odpověď na tuto otázku se zdá být na první pohled jednoduchá, ale ve skutečnosti jsou principy počítání různých kombinací docela zajímavé.

Když spojíme dva body, dostaneme segment. Pokud každý bod spojíme s každým dalším bodem, získáme všechny možné délky na základě daných bodů. Je důležité si uvědomit, že pořadí bodů při spojování neovlivňuje počet úseků.

Pro řešení tohoto problému bude uživatel muset použít kombinace. V našem případě, abychom našli počet úseků, musíme spočítat počet kombinací 6 až 2. To lze vypočítat pomocí vzorce: C (n, k) = n! / (k! * (n-k)!), kde n je celkový počet prvků a K je počet prvků v každé kombinaci.

Na rovině: 6 bodů-kolik úseků?

Na ploše je vyznačeno 6 bodů. Každý z těchto bodů musí být spojen s každým dalším bodem. Kolik úseků bude výsledkem?

K nalezení odpovědi na tuto otázku lze použít kombinatoriku. Pokud máme 6 bodů, můžeme z nich vybrat 2 body a spojit je úsekem. Počet způsobů, jak vybrat 2 body ze 6, lze vypočítat pomocí vzorce kombinací:

kde n-počet objektů, k-Počet vybraných objektů, a ! označuje faktoriál čísla.

V našem případě n = 6 A k = 2, takže:

S₆ 2 = 6! / (2! * (6-2)!) = 6! / (2! * 4!) = 6 * 5 / (2 * 1) = 15.

Tímto způsobem se ukazuje, že lze nakreslit 15 úseků, které spojují těchto 6 bodů v rovině.

Další způsob, jak tento problém vyřešit, je pomocí tabulky:

Tabulka obsahuje všechny možné kombinace bodů a každá kombinace odpovídá jednomu úseku. Z tabulky je patrné, že celkem jde o 15 spojů.

Odpověď na úkol " v rovině jsou tedy označeny 6 body. Kolik úseků vzniklo, když se každé dva body spojily?"rovná se 15.

Analýza úkolu

V tomto úkolu je na rovině označeno 6 bodů a je nutné určit, kolik úseků lze získat spojením každých dvou bodů.

K vyřešení problému lze použít kombinatoriku. Je známo, že počet úseků mezi n body lze nalézt pomocí vzorce kombinací bez opakování. V tomto úkolu je 6 bodů, takže n = 6.

Použijeme vzorec kombinací bez opakování:

Vložíme n = 6 do vzorce a vypočítáme počet úseků:

C₆ 2 = 6! / [(6 - 2)! * 2!] = 6! / [4! * 2!] = 6 * 5 / 2 = 15

Tímto způsobem se ukazuje, že lze získat 15 úseků spojením každých dvou bodů.

Hledání řešení

Chcete-li zjistit počet úseků vytvořených po spojení obou bodů, musíte použít vzorec kombinatoriky.

V tomto případě je k dispozici 6 bodů a pro připojení musíme vybrat 2 z nich. Počet kombinací 6 až 2 lze vypočítat pomocí vzorce kombinací:

C_n k = n! / (k!(n - k)!)

Kde C_n k počet kombinací z n elementů po k.

Pomocí vzorce získáme:

C₆ 2 = 6! / (2!(6 - 2)!) = 6! / (2!4!) = (6 × 5) / (2 × 1) = 30 / 2 = 15.

Po spojení obou bodů tedy vzniklo 15 úseků na rovině.

Matematický přístup

K řešení tohoto problému lze použít jednoduchý matematický přístup.

Zpočátku je v rovině 6 bodů. Chcete-li spojit každý pár bodů, musíte vybrat dva různé body ze 6, což lze udělat 6 C₂ způsoby.

Vzorec pro výpočet počtu kombinací bez opakování z n na k:

Vložením hodnot do vzorce získáme:

6 C₂ = 6! / ((6 – 2)! * 2!) = 6! / (4! * 2!) = (6 * 5 * 4!) / (4! * 2) = (6 * 5) / 2 = 15

Při spojení obou bodů mezi sebou tak vznikne 15 úseků.

Geometrický přístup

K vyřešení problému počtu úseků získaných spojením bodů v rovině lze použít geometrický přístup. Tento úkol má 6 bodů, z nichž každý může být spojen se zbytkem. Chcete-li zjistit celkový počet úseků získaných spojením všech párů bodů, musíte použít kombinační přístup a použít vzorec:

kde n - počet bodů. V daném případě, n = 6 pomocí tohoto vzorce lze vypočítat celkový počet úseků:

6(6 - 1) / 2 = 6 * 5 / 2 = 30 / 2 = 15

Při spojení všech párů bodů v rovině bylo tedy získáno 15 úseků.

Výsledek

Na ploše je vyznačeno 6 bodů. Každé dva body jsou spojeny úsečkou. K určení počtu úseků použijeme vzorec kombinatoriky.

Pro výběr 2 bodů ze 6 použijeme kombinaci bez opakování. Vzorec pro tento případ je následující:

C_n k = n! / (k!(n-k)!), kde n je počet objektů, k je počet zvolených objektů.

Vložíme hodnoty do vzorce:

C₆ 2 = 6! / (2!(6-2)!) = 6! / (2!4!) = 6 * 5 / 2 = 15.

Vzniklo tak 15 úseků.