Trojúhelník je jedním z nejjednodušších a nejběžnějších geometrických tvarů. Jeho strany a úhly však mohou mít různé významy, takže jeho studium je zajímavé a složité. Pokud potřebujete najít stranu trojúhelníku na základě tangence úhlu, možná budete potřebovat nějakou matematickou přípravu.
Úhel tangens je poměr protilehlé a vedlejší strany pravoúhlého trojúhelníku. Ne všechny trojúhelníky jsou však pravoúhlé a tangens úhlu lze použít k nalezení strany trojúhelníku pouze v některých případech.
Jak najdu stranu trojúhelníku přes úhel tangens? K tomu je třeba znát hodnotu tangensova úhlu, délku druhé strany trojúhelníku a úhel mezi těmito stranami. Pomocí matematických vzorců a výpočtů můžete najít stranu trojúhelníku, kterou chcete.
Co je tangens roh
Úhlová tangence je definována jako poměr délky protilehlého katetu (strany trojúhelníku protilehlého danému úhlu) k délce podmětového katetu (strany trojúhelníku, které jsou předmětem tohoto úhlu). Vypočítá se podle následujícího vzorce:
úhel tangens = protilehlý katetr / předmětový katetr
Hodnota tangens úhlu může být založena na známých hodnotách úhlu a strany trojúhelníku, nebo může být nalezena pomocí tangensových tabulek nebo kalkulačky s funkcí nalezení tangens.
| Roh | Tangens |
|---|---|
| 0° | 0 |
| 30° | 0.58 |
| 45° | 1 |
| 60° | 1.73 |
| 90° | nejistý |
Hodnota tangens úhlu může být kladná, záporná nebo nulová, v závislosti na čtvrtině, ve které je úhel umístěn. Tangens úhlu v první a třetí čtvrtině je vždy pozitivní, zatímco ve druhé a čtvrté čtvrtině může být negativní.
Úhlová tangence je důležitým konceptem v trigonometrii a lze ji použít k řešení různých matematických a fyzikálních problémů, včetně nalezení stran trojúhelníku nebo určení vzdálenosti k objektu.
Definice a princip práce
Úhlová tangence je poměr protilehlé strany k vedlejší straně pravoúhlého trojúhelníku. Označuje se jako tg nebo tan.
Princip fungování je následující: podle známé hodnoty tangence úhlu a jedné ze stran trojúhelníku lze najít hodnotu druhé strany. To se provádí pomocí příslušných vzorců.
K nalezení strany trojúhelníku pomocí tangens úhlu lze použít vzorec:
- Nacházíme význam tangence úhlu.
- Známá strana se násobí hodnotou tangensova úhlu.
- Výsledná hodnota se rovná hledané straně trojúhelníku.
Díky znalosti tangence úhlu a jedné ze stran trojúhelníku je tedy možné určit délku druhé strany bez použití úhloměrového nástroje nebo jiných trojúhelníků, díky čemuž je tato metoda velmi pohodlná a použitelná v praktických úkolech.
Vzorec pro výpočet tangensova úhlu
Vzorec pro výpočet tangensova úhlu má následující pohled:
kde α je úhel, a je protilehlý katetr, o je přiléhavý katetr.
Pro výpočet tangensova úhlu je tedy nutné znát hodnoty protilehlých a podmětových katetů. To umožňuje definovat tento úhel v trojúhelníku a použít jej k řešení různých problémů.
Použití tangens k nalezení výšky trojúhelníku
Tangens úhlu v trojúhelníku je spravedlivě definován jako poměr protilehlého katetu k podkladovému katetu.
Pro nalezení výšky trojúhelníku při známé délce jedné z jeho stran a úhlu tangence, můžete použít vzorec:
h = a * tg(α)
kde h - výška trojúhelníku, a - délka strany trojúhelníku protilehlého danému úhlu α.
Pomocí tohoto vzorce lze vypočítat výšku trojúhelníku, pokud je známa délka strany a hodnota tangence příslušného úhlu. Najít výšku trojúhelníku v rovině pomůže znalost tohoto vzorce.
Použití tangens k nalezení délky strany trojúhelníku
Chcete-li použít tangens k nalezení délky strany trojúhelníku, musíte znát hodnotu úhlu a délky jedné ze stran trojúhelníku. Když znáte úhel a hodnotu tangensova úhlu, můžete vypočítat opačnou stranu pomocí následujícího vzorce:
Délka opačné strany = tangens úhlu * délka vedlejší strany
Řekněme například, že máme pravoúhlý trojúhelník, který má úhel 45 stupňů a délka vedlejší strany je 3 jednotky. Můžeme použít úhel tangens k nalezení délky opačné strany takto:
Tangens 45 stupňů = opačná strana / vedlejší strana
1 = opačná strana / 3
Opačná strana = 3
Délka opačné strany se tedy rovná 3 jednotkám měření.
Tangens lze také použít k nalezení délky strany trojúhelníku obecně, když úhel není 45 stupňů. V tomto případě bude vzorec podobný, ale číslo tangens bude záviset na konkrétní hodnotě úhlu.
Použití tangens k nalezení délky strany trojúhelníku je užitečným nástrojem při řešení geometrických problémů, jako je nalezení neznámých stran trojúhelníku na daných úhlech a dalších stranách.
Příklady řešení problémů pomocí tangens
Podívejme se na několik příkladů úkolů, ve kterých můžeme použít úhlovou tangens k nalezení strany trojúhelníku.
Příklad 1:
Dan trojúhelník ABC se známými úhly A A B a hlídač AB. Musíme najít stranu BC.
Můžeme použít větu sinus, která říká, že poměr sinusu úhlu k protilehlé straně se rovná poměru sinusu druhého rohu k protilehlé straně.
Tímto způsobem můžeme zaznamenat následující:
sin(A) / BC = sin(B) / AB
Protože známe stranu AB a hodnotu úhlů A A B, můžeme snadno najít stranu BC pomocí vzorce:
BC = AB * (sin(A) / sin(B))
Příklad 2:
Zvažte trojúhelník ABC, který má jeden úhel C 90 stupňů a strany AB a BC jsou známé. Musíme najít úhel a.
K vyřešení tohoto problému můžeme použít úhlovou tangens. Vzhledem k tomu, že úhel C je 90 stupňů, můžeme použít Pythagorovu větu, která říká, že součet čtverců katettů je čtverec přepony:
Můžeme tedy najít hodnotu přepony AC:
Poté můžeme použít tangens úhlu a pomocí poměru protilehlých a přilehlých stran:
A nakonec můžeme najít úhel A použitím reverzní funkce tangensu:
A = arctan(BC / AB)
Příklad 3:
Předpokládejme, že máme trojúhelník ABC, úhly A A C jsou známé a strana AB je 10. Musíme najít stranu BC a úhel B.
Můžeme použít tangens úhlu B pomocí poměru protilehlých a přilehlých stran:
Protože známe stranu AB a hodnotu úhlů A A C, můžeme snadno najít stranu BC:
Poté můžeme použít součet úhlů trojúhelníku, který je 180 stupňů, k nalezení hodnoty úhlu B:
V tomto případě jsou známy hodnoty úhlů A A C a můžeme snadno najít hodnotu úhlu B.