Poloměry vepsané a popsané kolem čtverce kružnice jsou důležitými veličinami v geometrii. Pomáhají určit rozměry a poměry mezi postavami. Podívejme se blíže na to, jak najít poměr poloměru vepsaného kružnice k poloměru popsaného kružnice.
Vložený obvod - je to obvod, který se dotýká všech stran čtverce. Popisuje nejmenší kružnici, kterou lze do daného čtverce vložit. Její poloměr označíme jako r1.
Popsaný obvod - je to obvod, který prochází všemi vrcholy čtverce. Popisuje největší kružnici, kterou lze popsat kolem daného čtverce. Její poloměr označíme jako r2.
Poměr poloměru vepsaného kružnice k poloměru popsaného kružnice lze nalézt pomocí následujícího vzorce:
Poměr poloměrů = r1 / r2 = 1 / √2
Poměr poloměru vepsaného kružnice k poloměru popsaného kružnice je tedy 1 ke kořeni ze 2. Tento matematický poměr pomáhá určit rozměry kružnic, které jsou vepsány a popsány kolem čtverce, a používá se v geometrii a dalších vědeckých oblastech.
Vepsaná do obvodu kolem čtverce
Kružnice popsaná kolem čtverce se dotýká jeho stran v bodech, které se rovnají vrcholům čtverce. Tento kružnice se nazývá popsaný asi čtverec.
Pokud je poloměr popsaného kolem čtverce kružnice roven R, pak bude strana čtverce rovna 2R.
Obvod vepsaný do obvodu kolem čtverce se dotýká jeho stran uprostřed každé strany. Tento kružnice se nazývá čtverec v blízkosti kružnice.
Pokud je poloměr vepsaný do kružnice kolem čtverce kružnice roven r, pak strana čtverce bude 2R.
K určení poměru poloměru zapsaného k poloměru popsaného kolem čtverce kružnice lze použít následující vzorec:
Vyplývá z toho, že úhlopříčka čtverce se rovná dvojnásobnému poloměru popsanému kolem čtverce kružnice.
Popis úkolu a jeho řešení
Dan čtverec se stranou a. Najděte poměr poloměru vepsaného kružnice k poloměru popsaného kolem tohoto čtverce kružnice.
K vyřešení tohoto problému je třeba použít vlastnosti geometrických tvarů a vzorce související s kružnicemi.
Poloměr vepsaného kružnice se rovná polovině strany čtverce (r = a/2). Tuto vlastnost lze prokázat nakreslením poloměrů, které se rovnají stranám čtverce, a poté, když víme, že poloměr je kolmý na tečnu, můžeme odvodit vzorec.
Poloměr popsaného asi čtverce kružnice se rovná polovině úhlopříčky čtverce (R = a√2/2). To lze také prokázat pomocí vlastností poloměru a úhlopříčky čtverce.
Poměr poloměru vepsaného kružnice k poloměru popsaného kolem čtverce kružnice lze vyjádřit jako:
Poměr = r / R = (a/2) /(a√2/2) = 1/√2 = √2/2 ≈ 0.707
Poměr poloměru vepsaného kružnice k poloměru popsaného kolem čtverce kružnice je tedy přibližně 0.707.
Vlastnosti zapsaných a popsaných kružnic
V geometrii existují dvě důležité vlastnosti spojené s kružnicemi popsanými a vepsanými do tvaru.
Obvod popsaný kolem postavy se dotýká všech stran postavy. Poloměr tohoto kružnice se rovná polovině úhlopříčky čtverce, kolem které je popsána. Pokud je délka strany čtverce a, pak je úhlopříčka a√2 a poloměr popsaného kruhu je a√2/2.
Do jednoho kruhu se vejde pouze jedna postava. Vepsaný obvod se dotýká všech stran čtverce. Poloměr vepsaného kružnice se rovná polovině strany čtverce.
Poměr poloměru vepsaného kružnice k poloměru popsaného kružnice v případě čtverce je √2/2. Tedy r.do toho./rpopis.=√2/2.
Poměr poloměru vepsaného do poloměru popsaného kolem čtverce kružnice
Poměr poloměru vepsaného kružnice k poloměru popsaného kolem čtverce kružnice lze vyjádřit následujícím vzorcem:
Poměr = 1 / √2
Pro pochopení tohoto vzorce je nutné si představit čtverec vepsaný do kruhu.
Poloměr popsaného asi čtverce kružnice zcela pokrývá samotný čtverec a jeho délka je polovina délky strany čtverce.
Poloměr vepsaného obvodu na druhé straně kopíruje délku strany čtverce, protože se dotýká jeho stran uprostřed.
Z těchto vlastností lze usuzovat, že poměr poloměru vepsané kružnice k poloměru popsaného asi čtverce kružnice je 1/√2 nebo blíže 0,707.
Tento postoj má široké uplatnění v matematice a geometrii, zejména při řešení problémů souvisejících se čtvercem a jeho obvodem.
Proč je tento postoj důležitý?
Jedna z aplikací vztah poloměrů lze nalézt v úlohách geometrické optiky. Tento poměr lze použít k určení ohniskové vzdálenosti sférického povrchu, jako je čočka. Při znalosti poloměru vepsaného kružnice a popsaného kolem čtverce kružnice lze vypočítat ohniskovou vzdálenost a určit vlastnosti čočky.
Také poměr poloměrů lze v astronomii použít k aproximaci velikostí kosmických těles. Při znalosti poloměru popsaného kolem čtverce kružnice a poměru poloměrů lze odhadnout průměr a objem planet, měsíců nebo hvězd.
Poměr poloměrů se také používá ve fyzice, například při modelování pohybu těles v odstředivých urychlovačích. Poloměry kružnic pomáhají odhadnout trajektorii a zrychlení částice v urychlovači, což umožňuje předpovídat a analyzovat výsledky experimentu.
V matematice pomáhá poměr poloměrů řešit problémy s nalezením ploch a obvodů různých tvarů. Při znalosti poloměru vepsaného kružnice a poměru poloměrů lze vypočítat plochu trojúhelníku, kruhu nebo jiného tvaru na základě vlastností vepsaného a popsaného kružnice.
Všechny tyto příklady ukazují, že poměr poloměru vepsaného kružnice k poloměru popsaného kolem čtverce kružnice je důležitým nástrojem pro řešení různých problémů v různých oblastech vědy a praxe.
Podrobné vysvětlení a důkaz vzorce
Chcete-li najít poměr poloměru vepsaného kružnice k poloměru popsaného kolem čtverce, musíte zvážit konstrukční vlastnosti a geometrické vlastnosti těchto kružnic.
Ať máme čtverec se stranou a, vepsaný obvod s poloměrem r a popsaný obvod s poloměrem R.
Pro začátek určíme vlastnosti vloženého kružnice:
- Dotýká se všech stran čtverce.
- Její střed se shoduje se středem čtverce.
- Poloměr vepsaného kružnice lze vyjádřit poloměrem popsaným kolem čtverce kružnice následujícím vzorcem:
Nyní tento vzorec prokážeme.
Zvažte obdélníkový trojúhelník ABC, kde AC je úhlopříčka čtverce a O je střed čtverce a střed kružnice.
Pro obdélníkový trojúhelník ABC platí Pythagorův vzorec:
Strana čtverce se rovná straně trojúhelníku:
Vložíme hodnoty do Pythagorova vzorce:
Najdeme délku úhlopříčky AC:
Tímto způsobem jsme získali délku úhlopříčky čtverce přes délku jeho strany:
Zvažte poloměr vloženého kružnice:
r = AO = AC / 2 = a√2 / 2 = a / √2.
Nyní najdeme poloměr popsaného asi čtverce kružnice.:
R = OC = OB = OD = OA = AC / 2 = a√2 / 2 = a / √2.
Tímto způsobem jsme získali, že poloměr vepsané kružnice r a poloměr popsané kolem kvadratury kružnice R jsou stejné a jejich poměr je stejný r = R / √2.
Tento vzorec nám umožňuje snadno najít poloměr vepsaného kružnice, když známe poloměr popsaného kolem čtverce kružnice.