zvláštní a zajímavou bod, který má celou řadu jedinečných vlastností. V tomto článku se podíváme na geometrickou povahu tohoto bodu a prokážeme jeho zvláštnosti.
Podle definice, rovnoběžník je čtyřúhelník, který má protilehlé strany rovnoběžné. Úhlopříčky rovnoběžníku spojují protilehlé vrcholy a protínají se v jednom bodě, který označíme písmenem O.
Nejprve prokážeme, že průsečík úhlopříček rovnoběžníku je diagonální dělicí bod. Za tímto účelem zvažte dva trojúhelníky tvořené úhlopříčkami rovnoběžníku. Ukazuje se, že tyto trojúhelníky jsou rovny ploše a jsou homotetické.
Dále zvažte vlastnost symetrie body o relativně středních úhlopříčkách. Lze prokázat, že bod o rozděluje každou úhlopříčku na polovinu a je středem symetrie tvaru. Průsečík úhlopříček má tedy zvláštní geometrickou povahu, která se odráží v řadě symetrických vlastností.
Půltucet sestoupený z vrcholu na základnu
Abychom dokázali, že tento bod je půltečka sestupná z vrcholu na základnu, zvažte rovnoběžníky ABCD, kde AB a CD báze a AC a BD jsou úhlopříčky.
- Vezmeme vrchol A a provedeme paprsek, který prochází bodem C.
- Nechť je bod E průsečíkem paprsku AE se základnou CD.
- AE a DE jsou pak segmenty paprsku, které leží uvnitř rovnoběžníku ABCD.
- Paralelogram, AE a DE jsou si navzájem rovny.
- Bod E, který je středem segmentu CD, je tedy půltečka sestupná z vrcholu a na základnu CD.
Podobně je možné nakreslit paprsek sestupný z vrcholu C na základnu AB a dokázat, že bod F, který je středem úsečky AB, je také půltečka sestupná z vrcholu C na základnu AB.
Průsečík úhlopříček rovnoběžníku je tedy půltečka sestupná z vrcholu na základnu.
Střed symetrie rovnoběžníku je průsečík jeho úhlopříček
Pro důkaz, že průsečík úhlopříček rovnoběžníku je jeho středem symetrie, je třeba věnovat pozornost definici symetrie tvarů.
Symetrie je takové zobrazení tvaru, při kterém je každý bod postavy srovnán bod symetrický s určitou osou, čarou nebo bodem.
U rovnoběžníku se úhlopříčky, které spojují jeho vrcholy, protínají v bodě, který je středem každé úhlopříčky.
Pokud tedy odrážíme rovnoběžníky vzhledem k průsečíku jeho úhlopříček, pak každý bod rovnoběžníku bude mít symetrický bod. Průsečík úhlopříček je tedy jeho středem symetrie.
Průsečík mediánu rovnoběžníku
Pro důkaz, že průsečík median paralelogramu existuje, lze použít vlastnost rovnoběžníku, podle které je každý medián rozdělen na polovinu. To znamená, že pokud jsou středy stran rovnoběžníku spojeny úsečkou, budou tyto úsečky stejné a protínají se v jednom bodě - průsečíku mediánu rovnoběžníku.
Průsečík mediánu rovnoběžníku tedy existuje a je průsečíkem úseků spojujících středy protilehlých stran rovnoběžníku.