Rovnoramenný trojúhelník je trojúhelník, který má dvě strany a dva úhly stejné. Charakteristickým rysem rovnoramenného trojúhelníku je přítomnost výšky, což je také bissectris, medián a poloměr zapsané a popsané kružnice . V tomto článku se podíváme na to, kde je střed popsaného kružnice v rovnoramenném trojúhelníku a jak jej lze nalézt.
Střed popsaného kružnice v rovnoramenném trojúhelníku bude vždy umístěn na průsečíku bissektriky a výšky vedených z vrcholu úhlu mezi stejnými stranami. Jinými slovy, střed popsaného kružnice je zároveň středem základny rovnoramenného trojúhelníku a středem boční strany, což je poloměr popsaného kružnice. Tato vlastnost rovnoramenného trojúhelníku je velmi užitečná při řešení geometrických problémů spojených s popsaným obvodem.
Abychom pochopili, kde je střed popsaného kružnice v rovnoramenném trojúhelníku, můžeme zvážit příklad. Předpokládejme, že máme rovnoramenný trojúhelník ABC, který má AB = AC. Pokud provedeme bissektriku AB a výšku CH, pak by průsečík M těchto čar byl středem popsaného kružnice trojúhelníku ABC. V tomto případě bude MC poloměrem popsaného kružnice a MB a MA budou poloměry vepsaného kružnice. Centrum popsaného obvodu by se tak nacházelo na křižovatce mezi bissektrikou a nadmořskou výškou.
Střed popsaného kružnice v rovnoramenném trojúhelníku
V rovnoramenném trojúhelníku jsou si dvě strany navzájem rovny, a proto jsou dva rohy na základně stejné. Proto bude bissectris těchto úhlů také medián a výška daného trojúhelníku.
Střed popsaného kružnice v rovnoramenném trojúhelníku tedy bude na průsečíku mezi medianem a nadmořskou výškou. To také znamená, že střed kružnice bude průsečíkem symetrických OS všech tří úhlů trojúhelníku.
Níže jsou uvedeny příklady rovnoramenných trojúhelníků a jejich popsaných kružnic.
- Příklad 1: v tomto příkladu je trojúhelník ABC rovnoramenný, kde AB = AC. Střed popsaného kružnice je v bodě O.
- Příklad 2: v tomto příkladu je trojúhelník XYZ rovnoramenný, kde YZ = XZ. Střed popsaného kružnice je v bodě O.
Definice podstaty
Rovnoramenný trojúhelník je trojúhelník, který má dvě strany stejné a odpovídající úhly jsou také stejné.
Střed popsaného kružnice je důležitým prvkem rovnoramenného trojúhelníku, protože definuje mnoho vlastností tohoto trojúhelníku.
Například poloměr popsaného kružnice vedeného středem bude roven polovině délky základny trojúhelníku.
Další důležitou vlastností středu popsaného kruhu je, že jeho vzdálenost k vrcholům trojúhelníku bude stejná, což usnadňuje nalezení jeho souřadnic nebo určení, zda je bod uvnitř nebo vně trojúhelníku.
Jak najít střed popsaného kružnice v rovnoramenném trojúhelníku
K nalezení středu popsaného kružnice rovnoramenného trojúhelníku lze použít následující kroky:
- Najděte střed základny rovnoramenného trojúhelníku. To lze provést rozdělením délky základny na polovinu.
- Najděte výšku rovnoramenného trojúhelníku procházejícího středem základny. Výška rovnoramenného trojúhelníku je také medián a bissectris.
- Najděte průsečík základny a výšky rovnoramenného trojúhelníku. Tento bod bude středem popsaného kružnice.
Zvažte například rovnoramenný trojúhelník se stranami a, a A b. Kde a je základna trojúhelníku a b je boční strana. Pro nalezení středu popsaného kruhu se řídíme těmito kroky:
- Najdeme střed základny trojúhelníku M rozdělením délky základny na polovinu.
- Najdeme výšku trojúhelníku, který prochází bodem M. nazveme ho h.
- Najdeme průsečík základny AM a výšky h. pojmenujme tento bod o-střed popsaného kružnice.
Nyní víme, jak najít střed popsaného kružnice v rovnoramenném trojúhelníku. Pomocí těchto kroků a známých hodnot stran trojúhelníku lze přesně určit polohu středu popsaného kružnice.
Podrobné vysvětlení procesu hledání
Střed popsaného kružnice v rovnoramenném trojúhelníku lze nalézt pomocí následujícího algoritmu:
1. Určete vrcholy rovnoramenného trojúhelníku. Rovnoramenný trojúhelník má dvě stejné strany a jednu zvláštní stranu zvanou základna. Vrchol, ve kterém se obě stejné strany sbíhají, se nazývá vrchol základny. Zapište si souřadnice vrcholů trojúhelníku.
2. Najděte střed základny trojúhelníku. Střed základny je na rovnoběžné se dvěma vrcholy osy. Chcete-li najít střed základny, najděte průměr souřadnic vrcholů odpovídajících stejným stranám.
3. Najděte střed boční strany trojúhelníku. Střed boční strany je také na rovnoběžné se dvěma vrcholy osy. Chcete-li najít střed strany, najděte průměr souřadnic vrcholu základny a vrcholu, který není vrcholem základny.
4. Najděte průsečík OS procházejících středem základny a boční stranou. Tento bod je středem popsaného kružnice rovnoramenného trojúhelníku.
Zde je příklad pro jasnější představu:
| Vrchol | Souřadnice |
|---|---|
| A | (0, 0) |
| B | (4, 0) |
| C | (2, 6) |
Střed základny: (2, 0)
Střed strany: (1, 3)
Průsečík OS: (2, 1.5)
Střed popsaného kružnice rovnoramenného trojúhelníku s vrcholy (0, 0), (4, 0) a (2, 6) má souřadnice (2, 1.5).
Příklady nalezení středu popsaného kruhu
Zvažte několik příkladů nalezení středu popsaného kružnice v rovnoramenném trojúhelníku:
- Příklad 1: Rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AB a rovnými bočními stranami AC a BC. Krok 1: Najděte střed základny trojúhelníku AB a označte jej bodem M. Krok 2: postavte kolmici na boční stranu AC procházející m. nechte průsečík této kolmice s boční stranou AC být bodem D. Krok 3: Najděte střed strany AC a označte jej bodem N. Krok 4: nakreslete kružnici se středem v bodě N a poloměrem rovným AC. Pak bude střed popsaného kružnice na průsečíku tohoto kružnice s přímkou procházející body M A D.
- Příklad 2: Rovnoramenný trojúhelník XYZ se základnou XY a rovnými bočními stranami XZ a YZ. Krok 1: Najděte střed základny trojúhelníku XY a označte jej bodem P. Krok 2: Nakreslete bissektriky úhlů X a Y. nechte tyto bissektriky protínat se v bodě O. poté bude střed popsaného kružnice v bodě O.
- Příklad 3: Rovnoramenný trojúhelník LMN se základnou LM a rovnými bočními stranami LN A MN. Krok 1: Najděte střed základny trojúhelníku LM a označte jej bodem Q. Krok 2: Nakreslete výšku trojúhelníku procházejícího bodem Q. nechte tuto výšku překročit čáru procházející bodem N A rovnoběžnou stranou LM v bodě R. Pak bude střed popsaného kružnice na průsečíku této výšky s přímkou procházející body Q A R.
Pomocí uvedených algoritmů budete moci najít střed popsaného kružnice v libovolném rovnoramenném trojúhelníku.
Geometrická vlastnost středu popsaného kružnice v rovnoramenném trojúhelníku
Vlastnost je, že střed popsaného kružnice je na kolmici vedeném z vrcholu rovnoramenného trojúhelníku k základně. V tomto případě bude základna trojúhelníku tečná k popsanému kružnici.
Ukážeme tuto vlastnost na příkladu rovnoramenného trojúhelníku ABC:
- Nakreslíme přímku AF, což je výška trojúhelníku, který prochází vrcholem C.
- Protože trojúhelník ABC je rovnoramenný, pak BC = AC.
- Všimněte si, že úhel AFC je přímý, protože Af je výška trojúhelníku a přímka vedená ze středu kružnice k bodu ležícímu na kružnici je vždy poloměr a kolmá k tečně.
- Také podle vlastností rovnoramenného trojúhelníku je úhel BAC = úhel ABC.
- Z úhlu ABC pak vyplývá, že úhel ACF = úhel AFC.
- Podle vlastností pravých úhlů jsou úhly AFC a ACF stejné.
- Z toho vyplývá, že trojúhelníky ACF a AFC jsou rovnoramenné. BC = AC, AB = AF.
- Dostaneme, že bod B leží na popsaném kružnici rovnoramenného trojúhelníku ABC.
- Centrum popsaného kruhu by tedy bylo na přímce af, která prochází vrcholem C a je kolmá k základně AB.
Geometrickou vlastností středu popsaného kružnice v rovnoramenném trojúhelníku je tedy střed na kolmici vedeném z vrcholu trojúhelníku k základně.