Obvod je jedním z nejznámějších a nejstudovanějších geometrických tvarů. Má mnoho vlastností, z nichž jedna je rovnost trojúhelníků zapsaných ve stejném kružnici. Důkazy rovnosti trojúhelníků jsou důležitým nástrojem pro řešení geometrických problémů a vytváření bodů, čar a rovin.
Pro důkaz rovnosti trojúhelníků v kružnici je nutné se obrátit na základní vlastnosti kružnice a trojúhelníků. Definice rovnosti trojúhelníků je založena na rovnosti všech příslušných prvků trojúhelníků, jako jsou strany, úhly, výšky, mediány atd.
Jednou z metod pro důkaz rovnosti trojúhelníků v kružnici je srovnání délek oblouků vytvořených stranami trojúhelníků. Když všechny tři strany trojúhelníku protínají kružnici a tvoří oblouky, srovnání jejich délek umožňuje určit, zda jsou trojúhelníky stejné. Pokud jsou délky oblouků tvořených příslušnými stranami stejné, pak jsou trojúhelníky stejné jako vepsané do kružnice.
Trojúhelníky v kružnici: 7 způsobů, jak dokázat jejich rovnost
Rovnost trojúhelníků v kružnici lze prokázat různými způsoby. Zde je prezentováno 7 základních metod, které umožňují stanovit, že dva trojúhelníky v kružnici jsou stejné.
- 1. Stejné poloměry: Pokud mají dva oblouky kružnice stejnou délku, pak jsou trojúhelníky tvořené těmito oblouky a základnou stejné.
- 2. Poloměr a strana: Pokud jsou poloměry kružnic popsaných kolem trojúhelníků stejné a jedna strana každého trojúhelníku je také stejná, pak jsou trojúhelníky stejné.
- 3. Oblouk a sbor: Pokud jsou dva oblouky na jednom kružnici stejně dlouhé a chordy, které spojují konce těchto oblouků, jsou také stejné, pak jsou trojúhelníky tvořené těmito oblouky a chordy stejné.
- 4. Průměr: Pokud je jedna strana každého trojúhelníku o průměru kružnice a dvě další strany jsou stejné, pak jsou trojúhelníky stejné.
- 5. Úhly: Pokud mají dva trojúhelníky stejné úhly, pak jsou stejné.
- 6. Základna a dvě kolmice: Pokud je jedna strana trojúhelníku základnou a další dvě strany jsou kolmé k této straně, pak jsou trojúhelníky stejné.
- 7. Věta tečny: Pokud se dva kružnice navzájem dotýkají V jednom bodě a dvě strany každého trojúhelníku jsou poloměry kružnic, pak jsou trojúhelníky stejné.
Popsaných 7 způsobů, jak prokázat rovnost trojúhelníků v kružnici, jsou základní a široce používané v geometrii. Pomáhají stanovit rovnost trojúhelníků na základě vlastností kružnic a jejich prvků, jako jsou poloměry, oblouky, hordy a úhly.
Úhel mezi průměrem a Hordou
Důkaz této vlastnosti lze provést následovně:
Ať AB je průměr obvodu a CD je deska, která se opírá o tento průměr. Provedeme poloměr CE kolmý na CD a spojující jeho střed se středem obvodu o. nakreslíme také poloměr OE kolmý na průměr AB a spojuje jeho střed se středem obvodu o.
Vzhledem k tomu, že poloměr kružnice je kolmý k Hordě, je úhel CEO pravý úhel. Podobně je úhel CEO také pravý úhel, protože poloměr je kolmý na průměr.
Ze dvou pravých úhlů vyplývá, že úhel CEO je roven úhlu CEO. Také úhel CEO je společný úhel pro trojúhelníky CEO a CEO. Tyto trojúhelníky jsou tedy stejné na dvou stranách a úhlu, což znamená jejich úplnou rovnost na principu ZUT.
Z rovnosti trojúhelníků vyplývá, že strany DE a EO jsou si rovny. Vzhledem k tomu, že DE představuje polovinu CD chordů a EO polovinu průměru AB, CD a AB jsou také stejné.
Máme tedy důkaz, že úhel mezi průměrem a Hordou je vždy 90 stupňů. Tato vlastnost může být použita k prokázání rovnosti trojúhelníků a řešení různých geometrických problémů souvisejících s kružnicemi.
Plochy trojúhelníků tvořených jedním sborem
Jedna ze základních vět spojených s trojúhelníky tvořenými kružnicovým chordem říká: "Pokud mají dva trojúhelníky stejný chord, pak jsou plochy těchto trojúhelníků stejné." Důkaz této věty je založen na vlastnostech kružnice a geometrických vzorcích.
Nejprve se podíváme na trojúhelník tvořený chordou kružnice. Tato hornina rozděluje obvod na dva oblouky. Podle vlastností kružnice je úhel mezi chordou a obloukem vždy roven úhlu mezi chordem a dalším obloukem, který se opírá o stejný bod.
Poté rozdělíme trojúhelník tvořený chordou na dva menší trojúhelníky, které odpovídají dvěma obloukům kružnice. Označíme jejich plochy jako S1 a s2.
Podle věty základny rovnoramenných trojúhelníků můžeme říci, že trojúhelník tvořený jedním obloukem kružnice se rovná trojúhelníku tvořenému druhým obloukem kružnice. Tímto způsobem můžeme zaznamenat následující:
S1 = S2
Tj. plochy menších trojúhelníků tvořených oblouky kružnice jsou si rovny.
Nyní spojíme vrcholy menších trojúhelníků se středem kružnice. Tvořený trojúhelník bude mít také Jordán a jeho plochu označíme jako s.
Pomocí vlastností trojúhelníků a ploch můžeme říci, že plocha trojúhelníku S se rovná součtu ploch menších trojúhelníků S1 a s2. To je:
S = S1 + S2
Ale podle toho, co jsme výše prokázali, se S1 rovná S2. Tímto způsobem můžeme zaznamenat:
S = 2S1
Ale víme, že S1 = S2, proto:
S = 2S2
Ukazuje se tedy, že plocha trojúhelníku tvořená chordem kružnice se rovná dvojnásobné ploše menšího trojúhelníku tvořeného obloukem kružnice.
Plochy trojúhelníků tvořených jedním chordem kružnice se tedy navzájem rovnají. Tato vlastnost může být použita pro různé geometrické výpočty a důkazy o rovnoprávnosti trojúhelníků v kružnici.
Trojúhelníky tvořené hordy se stejným středem
Jeden zajímavý případ spojený s kružnicí jsou trojúhelníky tvořené chordami, které mají stejný střed. Jorda je segment, který spojuje dva body na kružnici.
Představme si kruh, ve kterém je střed bodu O. Pokud tedy vezmeme tři libovolné akordy AB, CD a EF procházející tímto středem, můžeme vytvořit trojúhelníky AOB, COD a EOF.
| Trojúhelník | Horda |
|---|---|
| △AOB | AB |
| △COD | CD |
| △EOF | EF |
Je důležité poznamenat, že všechny tři trojúhelníky si budou navzájem rovny. Tuto vlastnost lze prokázat pomocí různých geometrických teorémů. Pokud jsou například akordy AB a CD rovnocenné délce, pak trojúhelníky AOB a COD budou stejné jako věta o rovnoprávnosti trojúhelníků na dvou stranách a úhlu. Stejně tak trojúhelníky AOB a EOF budou stejné, pokud jsou hordy AB a EF stejné.
Trojúhelníky tvořené chordami se stejným středem v kružnici se tak budou rovnat sobě, pokud jsou odpovídající chordy stejně dlouhé. Tuto vlastnost lze použít k prokázání rovnosti trojúhelníků v různých geometrických úlohách.
Rovnoprávnost trojúhelníků, jejichž jedna strana leží na průměru
Když jedna strana trojúhelníku leží na průměru kružnice, pak existuje několik zajímavých vlastností, které umožňují prokázat rovnost takových trojúhelníků:
| Vlastnost | Popis |
| 1. | Pokud mají dva trojúhelníky stejné úhly na vrcholu a jednu stranu ležící na průměru kružnice, pak jsou tyto trojúhelníky geometrickou podmínkou rovnosti trojúhelníků - GU3. |
| 2. | Pokud mají dva trojúhelníky stejné úhly při základně a jednu stranu ležící na průměru kružnice, pak jsou tyto trojúhelníky stejné jako GU3. |
| 3. | Pokud mají dva trojúhelníky stejné úhly na vrcholu a stejné úhly na základně a také jednu stranu ležící na průměru kružnice, pak jsou tyto trojúhelníky stejné jako GU1 a GU3. |
Pokud tedy znáte údaje o trojúhelnících, u kterých jedna strana leží na průměru kružnice, lze tyto vlastnosti použít k prokázání jejich rovnosti.
Trojúhelníky s rohy vepsanými do kruhu
V geometrii existuje třída trojúhelníků, které mají všechny tři rohy vepsané do kružnice. Nazývají se trojúhelníky s úhly vepsanými do kružnice a mají řadu zajímavých vlastností.
Jednou ze základních vlastností těchto trojúhelníků je, že pokud mají dva takové trojúhelníky stejné vepsané úhly, pak jsou si rovny. Jinými slovy, pokud mají dva trojúhelníky tři stejné úhly, pak jsou stejné.
Jak tuto rovnost dokázat? K tomu lze využít vlastnosti vepsaných úhlů a poloměru kružnice. Předpokládejme, že máme dva trojúhelníky se zadanými úhly ABC a DEF, kde úhel ABC je roven úhlu DEF, úhel BAC je roven úhlu DFE a úhel ACB je roven úhlu EFD.
Podle vlastnosti vepsaných úhlů jsou úhel ABC a úhel AEC stejné, protože jsou odpovídajícím způsobem opřeny o oblouky se stejnými středovými úhly. Stejně tak úhel DEF a úhel DFE jsou stejné.
| Trojúhelník ABC | Trojúhelník DEF |
|---|---|
| ACB = EFD | ACB = EFD |
| ABC = DEF | ABC = DEF |
Každý pár stejných úhlů u těchto trojúhelníků je tedy stejný, což zaručuje jejich rovnost.
Tato vlastnost trojúhelníků se zadanými úhly je jednou z klíčových v geometrii a nachází uplatnění v mnoha úkolech a teorémech.
Rovnost symetrických trojúhelníků vzhledem k průměru
Abychom dokázali rovnost symetrických trojúhelníků vzhledem k průměru, můžeme použít princip rovnosti trojúhelníků. Pokud dokážeme stanovit, že dva trojúhelníky mají stejné strany a úhly, pak můžeme konstatovat, že jsou stejné.
Předpokládejme, že máme trojúhelník ABC, který je symetrický vzhledem k průměru DE. Pak můžeme najít body F A G, které jsou průsečíky stran trojúhelníku ABC s průměrem DE.
Nyní můžeme zvážit trojúhelníky AFG a BCG. Vzhledem k tomu, že trojúhelník ABC je symetrický vzhledem k průměru DE, strana AF by se rovnala straně BG, strana AG by se rovnala straně BF a strana FG by se rovnala sobě. Kromě toho bude úhel AFG roven úhlu BCG, úhel AGF bude roven úhlu BGF a úhel GAF bude roven úhlu GBF.
Z těchto rovností stran a úhlů můžeme usoudit, že trojúhelníky AFG a BCG jsou stejné. Trojúhelníky ABC a BCG a také trojúhelníky AFG a BCG jsou tedy stejné.
Rovnost symetrických trojúhelníků vzhledem k průměru v kružnici lze tedy prokázat pomocí principu rovnosti trojúhelníků a vlastností symetrie.
Důkaz rovnosti trojúhelníků pomocí šířek kružnice
Předpokládejme, že máme dva trojúhelníky: ABC a DEF. Musíme dokázat, že tyto trojúhelníky jsou si rovny.
- Začněme vytvořením kruhu procházejícího vrcholy a, B A C trojúhelníku ABC. Střed tohoto kružnice najdeme spojením středu dvou stran trojúhelníku ABC.
- Poté provedeme poloměry kružnice, které spojují střed kružnice s každým z vrcholů trojúhelníku ABC.
- Nyní víme, že poloměr kružnice je stejný pro oba trojúhelníky ABC a DEF.
- Poté nakreslíme čáry spojující střed kružnice s odpovídajícími vrcholy trojúhelníku DEF.
- Pokud jsou délky těchto čar stejné, pak můžeme konstatovat, že trojúhelník ABC se rovná trojúhelníku DEF na straně a dvěma přilehlým úhlům.
Použití šířek kružnice k prokázání rovnosti trojúhelníků je účinná metoda, protože nám umožňuje použít vlastnosti kružnice a jejího poloměru k nalezení rovnosti stran a úhlů trojúhelníků.