Kružnice je segment, který spojuje dva body na kružnici. Zajímavé je, že podle poloměru kružnice lze najít délku jakéhokoli chordů. K tomu je třeba znát jen několik vzorců a použít některé matematické operace.
Prvním krokem pro výpočet délky chordů podle poloměru je nalezení délky úsečky spojující konce chordů a střed kruhu. Tato část se nazývá průměr. Průměr se rovná dvojnásobné hodnotě poloměru.
Poté, co najdete délku průměru, je třeba použít Pythagorovu větu pro trojúhelník tvořený chordou, průměrem a okrajem kružnice. Podle této věty se čtverec délky hordy rovná rozdílu čtverce délky průměru a čtverce poloměru.
Co je to obvodový chord?
Vlastnosti hordy:
- Chór může být libovolné délky, včetně nulové délky (když se body shodují) a maximální délky (když se chór shoduje s obvodem).
- Jorda rozděluje obvod na dva oblouky, jeden menší a jeden velký. Délka každého oblouku závisí na délce chordů a umístění bodů, které spojuje.
- Pokud horda prochází středem kružnice, nazývá se průměr. V tomto případě se délka chordů rovná průměru.
- Úhel mezi hordou a poloměrem vedeným ke středu kruhu je vepsaný úhel a nazývá se Neumannův úhel. U hordy, která není průměrem, je Neumannův úhel vždy menší než 180 stupňů.
Použití chordů kružnice umožňuje řešit různé geometrické úkoly, včetně výpočtu délky chordů podle daného poloměru nebo nalezení poloměru, pokud je dána délka chordů a výška nad chordem.
Definice a vlastnosti
| Střed hordy | Nachází se ve vzdálenosti rovného poloměru kružnice od středu |
| Průměr | zvláštní pohled na hordu, která prochází středem obvodu |
| Boční horda | horda, která není průměr |
| Délka chordů | vzdálenost mezi dvěma jeho konci po obvodu |
Definice a vlastnosti hordy jsou důležité pojmy v geometrii a nacházejí široké uplatnění v různých matematických úlohách a aplikacích.
Jak najít délku chordů kružnice
Vzorec pro výpočet délky kružnice má tvar:
L = 2 * r * sin(α / 2)
Pro použití tohoto vzorce je nutné znát poloměr kružnice a úhel opírající se o chord. Pokud není úhel znám, lze jej vypočítat pomocí znalosti délky chordů a poloměru kružnice:
α = 2 * asin(L / (2 * r))
Nyní, když známe poloměr a úhel nebo délku chordů, můžeme snadno vypočítat délku chordů kružnice. Tyto informace mohou být užitečné v geometrii, stavebnictví, vědě a dalších oblastech.
Vzorec pro výpočet
Pro výpočet délky kružnice podle poloměru existuje jednoduchý vzorec:
- Najděte hodnotu poloměru kružnice.
- Vynásobte hodnotu poloměru 2 (2).
- Vynásobte výslednou hodnotu sinusem úhlu vepsaného do daného chordu.
- Výsledné číslo je a bude délkou kružnice.
Takže vzorec pro výpočet délky kružnice podle poloměru:
L = 2 * r * sin(α)
- L - délka kružnice;
- r - poloměr kružnice;
- α - úhel vepsaný do hordu (ve stupních).
Pomocí tohoto vzorce můžete snadno vypočítat délku chordů kružnice podle známého poloměru, což může být užitečné při řešení různých geometrických problémů.
Příklad výpočtu
Chcete-li vypočítat délku kružnice podle poloměru, musíte postupovat podle následujících kroků:
- Určete hodnotu poloměru kružnice a zapište ji do proměnné.
- Pomocí vzorce pro výpočet délky hordy: délka = 2 * poloměr * sin (úhel_ta_v_radany/2), najděte úhel v radiánech, který tvoří středový roh.
- Umístěte hodnoty poloměru a úhlu do vzorce a proveďte potřebné matematické operace.
- Výsledný výsledek je délka chordů kružnice.
Pokud je například poloměr kružnice 5 a středový úhel je 60 stupňů, pak je výpočet následující:
2. Úhel_ta_v_radianů = 60 * (π / 180) ≈ 1.047
3. Délka = 2 * 5 * sin (1.047/2) ≈ 5.878
Délka chordů kružnice je tedy přibližně 5.878 jednotek.
Závislost délky chordů na poloměru
Délka chordů kružnice závisí na jejím poloměru a lze ji vypočítat pomocí matematického vzorce. K určení délky chordů je nutné znát poloměr kružnice a úhel, který sbor uzavírá s centrálním úhlem na tomto kružnici.
Vzorec pro výpočet délky hordy:
L = 2 * r * sin(a/2)
- L - délka chordů
- r - poloměr kružnice
- a - úhel uzavřený chordou s centrálním úhlem na kružnici (v radiánech)
Ze vzorce je vidět, že délka chordů je přímo úměrná poloměru kružnice a úhlu uzavřenému chordem. Čím větší poloměr, tím delší je Jorda.
Například s obvodovým poloměrem r = 5 a úhlem a = π / 4 (45 stupňů) lze vypočítat délku hordy podle vzorce:
L = 2 * 5 * sin(π/8) ≈ 7.07
Při těchto hodnotách poloměru a úhlu by tedy délka hordy byla přibližně 7.07 jednotek délky.
Použití tohoto vzorce umožňuje určit délku chordů kružnice pro různé hodnoty poloměru a úhlu a také stanovit závislost této veličiny na poloměru.
Jak se mění délka chordů při změně poloměru
Délka chordů kružnice závisí na poloměru a úhlu, pod kterým odřízne oblouk kružnice. Tortura procházející středem kružnice (průměr) má maximální délku rovnající se průměru kružnice. Při zvětšování nebo zmenšování poloměru také mění svou délku.
Pokud se poloměr kružnice zvýší, zvyšuje se také délka chordů. Je to proto, že se zvětšením poloměru se také zvětšuje vzdálenost mezi dvěma body na kružnici (konce hordy).
Naopak, se snížením poloměru kružnice se délka chordů snižuje. Protože vzdálenost mezi konci hordy se snižuje se zmenšením poloměru.
Změnu délky chordů při změně poloměru lze vyjádřit matematicky pomocí vzorce: L = 2 * R * sin(a/2), kde L je délka chordů, R je poloměr kružnice, a je úhel (v radiánech), pod kterým horda odřízne oblouk kružnice.
Při změně poloměru kružnice se tedy délka chordů také mění podle vzorce, vzhledem k úhlu, pod kterým chorda odřízne oblouk kružnice.
Aplikace v praxi
- Geometrie a architektura: Poloměr kružnice a délka chordů se používají k výpočtu velikostí a tvarů geometrických tvarů, jako jsou kruhy, sektory a oblouky. Architekti a inženýři spoléhají na tyto výpočty při vytváření budov, mostů a dalších konstrukcí.
- Medicína: V některých lékařských postupech souvisejících s léčbou kožních onemocnění lze délku chordů použít k určení velikosti a plochy poškozené oblasti.
- Technické vědy: V inženýrství, fyzice a počítačové grafice může být délka hordy důležitým parametrem při modelování a navrhování různých systémů a zařízení.
- Navigace a geodézie: Při určování polohy objektů na mapě nebo v prostoru lze délku chordů kružnice použít k výpočtu vzdáleností mezi body a určení tras.
To jsou jen některé příklady oblastí, kde může být užitečná znalost vzorce pro výpočet délky chordů kružnice. Pochopení a aplikace tohoto matematického principu pomůže při práci na různých profesích a každodenních úkolech.
Příklad použití v geometrii
Pro ilustraci praktické aplikace vzorce pro výpočet délky kružnice podle poloměru v geometrii zvažte následující úkol:
Nechť je kružnice s daným poloměrem rovna r. Je třeba najít délku hordy, která spojuje dva body na kružnici, jejichž vzdálenost se rovná danému číslu a.
K vyřešení tohoto problému používáme vzorec pro výpočet délky hordy:
L = 2 * √(r^2 - (a/2)^2)
- L - hledaná délka chordů;
- r - poloměr kružnice;
- a - vzdálenost mezi body na kružnici.
Použijeme tento vzorec na konkrétní příklad. Nechte obvod s poloměrem 5 a nastavená vzdálenost mezi body na kružnici se rovná 4. Tím, že vložíme hodnoty do vzorce, získáme:
L = 2 * √(5^2 - (4/2)^2) = 2 * √(25 - 4) = 2 * √21 ≈ 9.165
Délka hordy, která spojuje dva body na obvodu s těmito parametry, je tedy asi 9.165 jednotka délky.