Pravoúhlý trojúhelník - jsou to trojúhelníky, které mají jeden úhel rovný 90 stupňům. Jsou základem pro studium trigonometrie a používají se v mnoha oblastech vědy, astronomie a inženýrství.
Pokud jsou známy dvě strany pravoúhlého trojúhelníku a jeden z jeho úhlů, lze k nalezení neznámé strany použít trigonometrické funkce. Jednou z těchto funkcí je sinus.
Sinus úhlu pravoúhlého trojúhelníku se rovná poměru délky protilehlého katetu k přeponě.
K nalezení strany přes sinus a strany v pravoúhlém trojúhelníku byste měli použít vzorec:
Strana = sinus úhlu * přepona
Při znalosti hodnot sinusu úhlu a délky jedné ze stran lze snadno najít délku druhé strany pravoúhlého trojúhelníku. Tuto metodu mohou využít studenti matematických oborů i lidé pracující v oblasti inženýrství a designu.
Co je to pravoúhlý trojúhelník?
V pravoúhlém trojúhelníku vždy existuje zvláštní strana, která se nazývá přepona. Přepona je nejdelší strana trojúhelníku a je proti pravému úhlu.
Také v pravoúhlém trojúhelníku lze rozlišit další dvě strany, které se nazývají katety. Katety leží přiléhající k přímému rohu a spojují se s vrcholy trojúhelníku.
Ze zvláštních vlastností pravoúhlého trojúhelníku vyplývá řada vzorců a poměrů, které umožňují řešit problémy související s tímto typem trojúhelníku. Jedním z takových vzorců je Pythagorova věta, která říká, že přepona čtverec se rovná součtu čtverců katetů.
Když znáte hodnoty stran nebo úhlů pravoúhlého trojúhelníku, můžete pomocí různých matematických operací vypočítat hodnoty ostatních stran nebo úhlů. Například pomocí sinusu lze určit hodnotu úhlu nebo strany pravoúhlého trojúhelníku.
Základní pojmy
Sinus úhlu je poměr délky protilehlého katetu k délce přepony v pravoúhlém trojúhelníku. Je označen symbolem sin a vyjádřen vzorcem sin(a) = katet/přepona.
K nalezení strany přes sinus úhlu a známou stranu v pravoúhlém trojúhelníku lze použít větu sinus. Podle této věty jsou vztahy délek stran k úhlům, které jim sedí, stejné pro všechny tři strany trojúhelníku. Vzorec pro nalezení strany je následující:
strana = (známá strana * sin(známý úhel))/sin (Neznámý úhel).
Při použití tohoto vzorce je nutné znát dva rohy a jednu ze stran trojúhelníku.
Nyní, když známe základní pojmy, můžeme přistoupit k řešení problémů souvisejících s nalezením strany přes sinus a stranu v pravoúhlém trojúhelníku.
Hledání strany přes sinus
K nalezení strany přes sinus v pravoúhlém trojúhelníku lze použít vzorec:
Strana = opačná strana / sin (úhel)
Kde " opačná strana "je strana protilehlá rohu a" úhel " je úhel, jehož sinus je známý.
Chcete-li vypočítat hodnotu sin(úhel), musíte použít tabulku hodnot sinusu nebo použít kalkulačku s trigonometrickými funkcemi.
Po výpočtu hodnoty strany jej můžete vložit do vzorce a určit stranu trojúhelníku.
Nechť je v pravoúhlém trojúhelníku známa hodnota opačné strany rovná se 5 a hodnota sinusu úhlu rovna 0.8.
Pak bude strana rovná:
Strana = 5 / 0.8 = 6.25
Strana trojúhelníku je tedy 6,25.
Formule
Pokud je úkolem najít stranu pravoúhlého trojúhelníku přes sinus úhlu a druhou stranu, lze použít následující vzorec:
Strana = sinus úhlu * druhá strana
Například, ať máme pravoúhlý trojúhelník se stranami a, b a přeponou c. Pokud známe úhel α, který je opačný než strana a, a délku strany b, můžeme stranu a najít pomocí vzorce:
a = sin(α) * b
Tento výraz umožňuje najít délku strany a tím, že zná hodnotu sinusu úhlu α a délku strany b.
Příklady řešení
Zvažte několik příkladů, abyste lépe porozuměli tomu, jak najít stranu přes sinus a stranu v pravoúhlém trojúhelníku.
| Výchozí data | Řešení |
|---|---|
| Strana AC = 5 | Strana BD = ? |
| Úhel C = 60° | Úhel D = 90° |
K vyřešení tohoto příkladu můžeme použít vzorec sinusu:
Sinus úhlu C = opačná strana ( BD) / přepona (AC)
Strana BD je tedy přibližně 4.33.
| Výchozí data | Řešení |
|---|---|
| Strana AC = 10 | Strana AE = ? |
| Úhel C = 45° | Úhel A = 90° |
K vyřešení tohoto příkladu můžeme použít vzorec sinusu:
Sinus úhlu C = opačná strana ( AE) / přepona (AC)
Strana AE je tedy přibližně 7.07.
Hledání strany v pravoúhlém trojúhelníku
Pokud jsou známy délky dvou stran pravoúhlého trojúhelníku, lze třetí stranu nalézt pomocí Pythagorovy věty. Podle této věty se čtverec délky přepony (strany pravoúhlého trojúhelníku protilehlého přímému rohu) rovná součtu čtverců délek katetů (další dvě strany trojúhelníku). Vzorec pro výpočet přepony:
kde C je přepona, a A B jsou katety.
Pokud je známa délka přepony a jeden z katetů, lze délku druhého katetu najít pomocí Pythagorovy věty. Vzorec pro výpočet katetu:
kde a-katetr, C-přepona, b-druhý katetr.
Pokud jsou známy délky jednoho katetu a přepony, lze délku druhého katetu najít proporcí. Vzorec pro výpočet katetu:
kde b je druhý katetr, a - katetr, C je přepona.
Pomocí těchto vzorců je možné najít chybějící strany v pravoúhlých trojúhelnících a řešit problémy související s jejich měřením a výpočty.
Formule
K nalezení strany pravoúhlého trojúhelníku přes sinus a stranu lze použít následující vzorec:
Strana = sinus (úhel) * druhá strana
Pro použití tohoto vzorce je nutné znát hodnotu sinusu úhlu a délku druhé známé strany trojúhelníku. K nalezení hodnoty sinusu úhlu lze použít tabulku sinusů nebo kalkulačku a délku sousední strany lze měřit pravítkem nebo jiným měřicím nástrojem. Po vložení příslušných hodnot do vzorce lze vypočítat délku hledané strany.
Pokud jsou například známy sinus úhlu a roven 0.6 A délka strany B rovna 5, pak pomocí vzorce strana = sinus(úhel) * druhá strana dostaneme:
Hledaná strana = 0.6 * 5 = 3
Hledaná strana trojúhelníku by tedy byla 3.
Příklady řešení
Příklad 1:
Je to pravoúhlý trojúhelník, ve kterém jsou známy přepony c = 10 cm a úhel a = 30°.
K nalezení strany b použijeme vzorec sin (a) = b/c.
Nastavíme hodnoty sin (30°) = b / 10:
b = 10 * sin(30°) = 10 * 0.5 = 5 viz.
Strana b je tedy 5 cm.
Příklad 2:
Je to pravoúhlý trojúhelník, ve kterém jsou známy přepony c = 13 cm a strana a = 5 cm.
K nalezení úhlu a použijeme vzorec sin (a) = A/c.
Nastavíme hodnoty sin(A) = 5/13 a pomocí trigonometrických tabulek najdeme přibližnou hodnotu úhlu a:
A = arcsin(5/13) ≈ 22.62°.
Úhel a je tedy přibližně 22.62°.