Kvadratické rovnice se záporným diskriminantem jsou rovnice, které nemají skutečné kořeny. Vznikají, když je pod kořenem ve vzorci diskriminanta záporné číslo. Tyto rovnice není možné řešit, ale lze najít jejich imaginární kořeny.
Kvadratická rovnice s negativním diskriminantem: řešení
Když je však diskriminant (výraz D = b2 - 4ac) kvadratické rovnice záporný, znamená to, že Rovnice nemá skutečné kořeny. Místo toho jsou kořeny komplexními čísly.
Řešení kvadratické rovnice se záporným diskriminantem lze získat pomocí kořenového vzorce:
Kde a, b A c jsou koeficienty kvadratické rovnice.
Výsledné výsledky jsou komplexní čísla, kde skutečná část je-b/2A a imaginární část je √(-D)/2a.
Vezměme si například rovnici X2 - 4x + 5 = 0, kde a = 1, b = -4 a c = 5.
Diskriminant D = (-4)2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4.
Protože diskriminant je negativní, kořeny rovnice jsou komplexní:
| Kořen | Reálná část | Imaginární část |
|---|---|---|
| x₁ | -(-4)/(2*1) = 2 | √(-(-4))/(2*1) = √4/2 = 1 |
| x₂ | -(-4)/(2*1) = 2 | -√(-(-4))/(2*1) = -√4/2 = -1 |
Řešením této rovnice jsou tedy komplexní čísla x₁ = 2 + i a x₂ = 2 - i, kde i je imaginární jednotka.
Takto se řeší kvadratická rovnice s negativním diskriminantem.
Diskriminant a jeho významy
kde a, b A c jsou koeficienty kvadratické rovnice ax^2 + bx + c = 0.
Hodnota diskriminanta může být kladná, záporná nebo nulová.
1. Pokud je diskriminant D > 0, pak rovnice má dva různé věcné kořeny. To znamená, že graf kvadratické rovnice protíná osu x ve dvou bodech.
2. Pokud je diskriminant D = 0, pak rovnice má jeden věcný kořen. Graf kvadratické rovnice se dotýká osy x pouze v jednom bodě.
Znalost hodnot diskriminanta pomáhá efektivně a správně řešit kvadratické rovnice a porozumět jejich grafické interpretaci.
| Hodnota D | Počet kořenů | Pohled na grafiku |
|---|---|---|
| D > 0 | 2 různé fyzické kořeny | Graf protíná osu x ve dvou bodech |
| D = 0 | 1 věcný kořen | Graf se dotýká osy x V jednom bodě |
| D < 0 | Žádné skutečné kořeny | Graf nepřekračuje osu x |
Použití komplexních čísel
Pokud má rovnice záporný diskriminant, pak kořeny kvadratické rovnice budou komplexní čísla. K nalezení kořenů s negativním diskriminantem je nutné použít komplexní čísla.
Komplexní číslo je prezentováno ve formě a + bi, kde a a b - platná čísla a i - imaginární jednotka, která je určena poměrem i 2 = -1.
K nalezení kořenů kvadratické rovnice se záporným diskriminantem je nutné použít vzorec:
kde D diskriminant, rovný D = b 2 - 4ac.
Pokud je diskriminant negativní, pak výpočet standardním způsobem selže. Abyste se vyhnuli chybám, můžete použít vzorec s komplexními čísly:
| Kořen x | Komplexní číslo |
|---|---|
| x1 | (-b + √(|D|)i) / (2a) |
| x2 | (-b - √(|D|)i) / (2a) |
Kde |D| - diskriminační modul, rovný |D| = √(-D).
Použití komplexních čísel umožňuje vyřešit kvadratickou rovnici se záporným diskriminantem a získat komplexní kořeny.