Rovnoběžník je zvláštní druh čtyřúhelníku, který má protilehlé strany rovnoběžné a rovné. Jednou z nejdůležitějších otázek v geometrii je, zda je daný čtyřúhelník rovnoběžníkem a zda má konvexní vlastnost. Důkaz konvexnosti rovnoběžníku je založen na tom, že všechny úhly jsou stejné a součet všech jeho dvou sousedních úhlů je 180 stupňů.
Nejprve se podívejme na paralelogram ABCD. Ať máme dvě jeho sousední strany AB a BC. V rovnoběžníku jsou tyto strany stejné, což znamená, že mají stejné délky. Pokud provedeme úhlopříčky AC a BD, označíme průsečík úhlopříček jako bod O.protože AV=BC, bod O bude ležet na přímce procházející středem úseků AB a BC.
Vzhledem k tomu, že úhlopříčky mají segmenty, které obsahují úhlopříčku rovnoběžníku, jsou ekvivalentní úsekům jiných úhlopříček a stejné úsečky přímky jsou od jednoho bodu, což znamená, že úsečky AO a CO a úsečky BO a DO jsou symetrické vzhledem k bodu O. Takže jsme ukázali, že v rovnoběžníku se všechny úhlopříčky protínají v jednom bodě.
Koncept boule
Formálně je postava konvexní, pokud pro jakékoli body A A B uvnitř postavy a pro jakékoli číslo t od 0 do 1 je bod na úsečce AB definovaný t také uvnitř tvaru.
Koncept konvexe hraje důležitou roli v geometrii a optimalizaci. Množina je vypouklá, pokud a pouze pokud může být jakýkoli její bod reprezentován jako konvexní kombinace dalších bodů této množiny.
Konvexní tvary mají několik charakteristik, díky nimž jsou užitečné při řešení problémů. Například jakýkoli konvexní mnohoúhelník-rovnoběžník včetně, má protínající se úhlopříčky a také vlastnost, že součet úhlů v něm je 360 stupňů.
Konvexní tvary jsou široce používány v různých oblastech vědy a techniky, včetně optimalizace, počítačové grafiky a statistik. Pochopení a použití konvexního konceptu pomáhá zjednodušit a vyřešit složité úkoly související s geometrií a analýzou dat.
Základní pojmy boule
Pro pochopení konvexe je důležité porozumět dvěma základním pojmům: konvexní skořápce a konvexní kombinaci.
- Konvexní skořápka: Konvexní skořápka některých mnoha bodů je nejmenší konvexní postava, která obsahuje všechny tyto body. Jinými slovy, konvexní skořápka je nejmenší konvexní postava, kterou lze popsat kolem mnoha bodů. Konvexní skořápka může být reprezentována jako mnohoúhelník obsahující všechny body z množiny.
- Konvexní kombinace: konvexní kombinace je lineární kombinace bodů, ve které jsou všechny koeficienty nezáporné a jejich součet je 1. Myšlenka konvexní kombinace je, že bod je uvnitř konvexního tvaru, pokud jej lze představit jako konvexní kombinaci teček ležících na hranici nebo uvnitř tohoto tvaru.
Základní pojmy konvexe jsou základem důkaz konvexe rovnoběžníku a dalších geometrických tvarů.
Přímé úhly v rovnoběžníku
Jako zvláštní tvar čtverce zahrnují vlastnosti rovnoběžníku také přítomnost pravých úhlů. Pravý úhel se nazývá úhel rovný 90 stupňům nebo PI/2 radianům.
V rovnoběžníku je každý pár protilehlých stran rovnoběžný, což vede k opačným úhlům rovnoběžníku. Jeden pár protilehlých úhlů v rovnoběžníku je tedy rovný. Přímé úhly jsou tvořeny průsečíkem rovnoběžných stran a tvoří dva páry stejných pravých úhlů.
Přímé úhly v rovnoběžníku mají řadu důležitých vlastností. Například součet všech úhlů v rovnoběžníku je 360 stupňů nebo 2π radiánů. To vyplývá z toho, že každý pár protilehlých úhlů v rovnoběžníku je stejný a dva páry pravých úhlů jsou 180 stupňů nebo π radiánů.
Další důležitou vlastností pravých úhlů v rovnoběžníku je, že jej rozdělují na dva stejné trojúhelníky. To znamená, že jakákoli čára vedená přes protilehlé vrcholy rovnoběžníku bude procházet středem rovnoběžných stran a dělit rovnoběžníky na dvě stejné části.
Vlastnosti pravých úhlů
| Vlastnost | Popis |
| 1. Pravý úhel je největší ze všech možných úhlů. | Úhel se nazývá rovný, pokud je jeho míra rovna 90 stupňům. Všechny ostatní rohy jsou menší než pravý úhel. |
| 2. Dva pravé rohy tvoří úplný úhel. | Dva pravé úhly umístěné vedle sebe a mající společný vrchol tvoří úplný úhel, který se rovná 180 stupňům. |
| 3. Další úhel pravého úhlu je 90 stupňů. | Další se nazývá úhel, který v součtu s tímto úhlem tvoří pravý úhel. V případě pravého úhlu bude další úhel také 90 stupňů. |
Znalost vlastností pravých úhlů je důležitým základem pro pochopení geometrických tvarů a provádění důkazů.
Součet úhlů rovnoběžníku
Součet úhlů rovnoběžníku je vždy 360 stupňů. To je způsobeno zvláštností jeho struktury a vlastnostmi paralelních čar.
Rovnoběžník je čtyřúhelník, který má protilehlé strany rovnoběžné a rovné. Uvnitř paralelogramu lze nakreslit dvě úhlopříčky, které jej rozdělí na čtyři trojúhelníky. Podívejme se na každý z těchto trojúhelníků zvlášť.
- V horním trojúhelníku jsou sousední úhly A A D svislé úhly, a proto jsou stejné. Stejně tak úhly B A C jsou také stejné. Takže součet úhlů A A D se rovná součtu úhlů B A C a je 180 stupňů.
- Podobné úvahy platí i pro spodní trojúhelník, kde součet úhlů E a H se rovná součtu úhlů F A G a je také 180 stupňů.
Součet úhlů A, B, C, D, E, F, G A H se tedy rovná součtu úhlů A A D (180 stupňů) a součtu úhlů E a H (180 stupňů), což se rovná 360 stupňům.
Věta o součtu úhlů rovnoběžníku
Pro důkaz této věty použijeme vlastnosti rovnoběžných přímek a vlastnosti úhlů podobnosti trojúhelníků.
Zvažte paralelogram ABCD:
| Úhel A | Úhel B |
Podle vlastnosti rovnoběžných pravých úhlů a na vrcholu rovnoběžníku je úhel C a úhel B je úhel D:
| Úhel A | Úhel B |
| Úhel C | Úhel D |
Úhly A, B, C A D v rovnoběžníku jsou tedy stejné:
| Úhel A | Úhel B |
| Úhel C | Úhel D |
Součet úhlů A, B, C a D v rovnoběžníku je tedy 180 stupňů.
Úhlová nerovnost v rovnoběžníku
Podívejme se na paralelogram ABCD. Nechť úhel A a úhel C jsou protilehlé rohy.
Podle Úhlové nerovnosti úhel a + úhel C = 180 stupňů. To znamená, že pokud známe hodnotu jednoho z protilehlých úhlů, můžeme určit hodnotu jiného úhlu. Pokud je například úhel A 70 stupňů, pak úhel C bude 110 stupňů.
Úhlová nerovnost v rovnoběžníku lze použít ke kontrole vyboulení rovnoběžníku. Pokud je součet dvou protilehlých úhlů 180 stupňů, pak je rovnoběžník konvexní. Pokud se tento součet nevyrovná 180 stupňům, je rovnoběžník nepružný.
Úhlová nerovnost v rovnoběžníku je důležitým prvkem v geometrii. Umožňuje snadno určit, zda je rovnoběžník konvexní nebo ne. Použití této nerovnosti pomáhá zjednodušit a doložit další vlastnosti a věty související s paralelogramy.
Důkaz Úhlové nerovnosti
Pro důkaz Úhlové nerovnosti provedeme úhlopříčku rovnoběžníku. V tomto úkolu označíme rovnoběžníky jako ABCD, kde je AB strana, BC protilehlá strana, ad úhlopříčka a BD protilehlá úhlopříčka.
- Zvažte úhel BAC a úhel BDC. Podle konstrukce jsou tyto úhly stejné, protože jsou svislé úhly.
- Také při konstrukci rovnoběžníku je úhel ABC a úhel CDA, protože protilehlé sousední rohy jsou stejné.
- Z bodu 1 a bodu 2 vyplývá, že úhel BAC se rovná úhlu CDA.
Podívejme se na další dva úhly rovnoběžníku: úhel ABD a úhel BCD. Podle konstrukce jsou tyto úhly svislé úhly. Takže úhel ABD se rovná úhlu BCD.
Z výsledku bodu 3 A bodu 4 vyplývá, že součet úhlů BAC a ABD se rovná součtu úhlů CDA a BCD.
Tímto způsobem jsme prokázali úhlovou nerovnost: dva protilehlé rohy rovnoběžníku jsou vždy větší než součet dalších dvou úhlů.
Úhlopříčky rovnoběžníku
Úhlopříčka rovnoběžníku se nazývá segment spojující vrcholy, které nejsou sousedními.
U paralelogramu mají úhlopříčky několik vlastností:
- Úhlopříčky rovnoběžníku jej dělí na dva stejné trojúhelníky.
- Úhlopříčky rovnoběžníku se protínají v bodě, který je středovým bodem každého z nich.
- Úhlopříčky rovnoběžníku jsou si rovny.
Úhlopříčky rovnoběžníku jsou tedy navzájem bisektrické a dělí se na polovinu.
Když známe tyto vlastnosti, můžeme použít úhlopříčky k prokázání vyboulení rovnoběžníku.