Geometrická progrese je posloupnost čísel, ve které se každý další prvek získá vynásobením předchozího konstantním číslem zvaným jmenovatel. Tato progrese může být rostoucí, klesající nebo přetrvávající. V tomto článku se zaměříme na důkaz nekonečného poklesu exponenciálně.
Pro začátek si představme geometrickou progresi v obecné podobě: a, ar, ar^2, ar^3,. kde a je první prvek, R je jmenovatel a ' ^ ' je symbol vztažnosti na stupeň. Abychom dokázali, že progrese je nekonečně klesající, musíme ukázat, že každý další prvek je menší než ten předchozí.
Za tímto účelem zvažte poměr mezi dvěma po sobě jdoucími prvky: (ar^3) / (ar^2). Všimněte si, že jmenovatel se jednoduše zmenšuje a zůstává r. nyní máme výraz a*r / a = r. Je zřejmé, že pokud je R menší než 1, progrese bude klesat.
Co je geometrická progrese?
Obecný vzorec pro nalezení prvků geometrické progrese je následující: a n = a 1 * q n-1, Kde a n n-člen progrese a 1 - první člen progrese, N-číslo prvku.
Geometrická progrese může být jak omezená, tak nekonečná. V omezené geometrii mají všechny prvky konečné hodnoty, zatímco v nekonečné progresi mohou prvky nabývat nekonečně malých hodnot.
Geometrická progrese je široce používána v matematice, fyzice, ekonomice a dalších vědách k modelování procesů s konstantním poklesem nebo zvýšením. Umožňuje prezentovat složité jevy ve zjednodušené a kompaktní formě, což usnadňuje jejich analýzu a řešení problémů.
| Příklad geometrické progrese: |
|---|
| 1, 2, 4, 8, 16, 32, . |
Rysy geometrické progrese
Proč je geometrická progrese nekonečně klesající? Je to proto, že jmenovatel q je vždy menší než 1, což vede ke snížení hodnot následných prvků sekvence. Geometrická progrese má tedy důležitou vlastnost-její prvky směřují k nule při nekonečném zvětšení čísla prvku.
Dalším rysem geometrické progrese je, že může mít kladné i záporné prvky v závislosti na znaménku jmenovatele q. Pokud je q větší než 1, pak budou prvky sekvence kladné. Pokud je q v intervalu (0, 1), pak budou prvky sekvence záporné.
Geometrická progrese má také mezní hodnotu,kterou lze nalézt vydělením jakéhokoli prvku sekvence předchozím. Mez geometrické progrese se rovná jmenovateli q, pokud je| q / menší než 1. V tomto případě, pokud je |q| větší nebo roven 1, pak geometrická progrese nemá mezní hodnotu.
Geometrické využití umožňuje pohodlné modelování a analýzu mnoha procesů v různých oblastech vědy a techniky. Jeho vlastnosti a vlastnosti z něj dělají silný a flexibilní nástroj pro řešení problémů různých úrovní obtížnosti.
Vlastnosti nekonečně ubývající geometrické progrese
| Vlastnost | Popis |
|---|---|
| Nekonečno | BUGP má nekonečný počet členů, protože každý nový člen progrese je menší než ten předchozí. |
| Úbytek | Každý další člen progrese je menší než ten předchozí. |
| Modul vztahy | Modul vztah mezi libovolnými dvěma členy progrese je vždy větší než 1 a menší než 0, protože je sestupný. |
| Součet | Součet nekonečně ubývajících exponencií existuje pouze za předpokladu, že modul poměru je menší než 1. V opačném případě se částka rozdělí. |
| Asymptota | Asymptota je hranice BUGP, ke které se sekvence zavazuje, když je odstraněna z počátečního člena progrese. Asymptota je v případě nekonečně klesající progrese nulová. |
Nekonečně ubývající geometrická progrese má své vlastní vlastnosti a matematické vlastnosti, díky nimž je zajímavá pro výzkum a aplikace v různých oblastech vědy a praxe.
Vlastnost 1: Sestupné sekvenční prvky
Pokud je první prvek sekvence a1 více než nula (a1 > 0) a jmenovatel progrese q < 1 pak bude každý další prvek menší než ten předchozí.
Jinými slovy, když se jmenovatel q sníží, sekvenční prvky se zmenšují a zmenšují.
Například, pokud je první prvek a1 rovná se 10 a jmenovatel q je 0.5, pak budou následující prvky 5, 2.5, 1.25, atd., stále menší a menší.
Sestupné prvky sekvence jsou tedy jednou z vlastností nekonečně ubývající geometrické progrese.
Vlastnost 2: konvergence k nule
Pro důkaz této vlastnosti zvažte následující vzorec:
kde Sn - součet prvních n členů exponenciálně, a1 - první člen progrese, a2 - druhý člen progrese a tak dále.
Předpokládejme, že modul jmenovatele progrese je menší než jedna: |q| < 1.
Pak můžeme napsat následující výraz:
Pomocí vzorce součtu geometrické progrese:
Po zjednodušení získáme:
Sn = a1(1 - q n )/ (1 - q)
Geometrická progrese je tedy nekonečně klesající, protože součet jejích členů směřuje k nule za předpokladu, že modul jmenovatele progrese je menší než jedna.
Důkaz nekonečné ubývající geometrické progrese
Nechť je dána geometrická progrese s prvním prvkem a a jmenovatelem q. pak můžeme její prvky zapsat do následující tabulky:
| Číslo položky | Význam prvku |
|---|---|
| 1 | a |
| 2 | a * q |
| 3 | a * q^2 |
| 4 | a * q^3 |
| . | . |
| n | a * q^(n-1) |
Všimněte si, že pro jakékoli přirozené číslo n se provádí následující nerovnost:
Rozdělíme obě části nerovnosti na A a všimneme si, že a * q^n / a = q^n a a * q^(n-1) / a = q^(n-1). Získat:
Tato nerovnost se provádí pro jakékoli přirozené n, protože jmenovatel q je větší než 1 a stupeň n se zvyšuje s každým stupněm progrese. Každý další prvek progrese je tedy menší než ten předchozí, což dokazuje, že geometrická progrese je nekonečně klesající.
Krok 1: Úvaha o prvních prvcích sekvence
Nechť je dána geometrická progrese daná vzorcem:
kde an - n. prvek progrese, a1 - první prvek progrese, R-jmenovatel progrese.
Podívejme se na několik prvních prvků tohoto vývoje.:
| n | an |
|---|---|
| 1 | a1 |
| 2 | a2 = a1 * r |
| 3 | a3 = a1 * r 2 |
| . | . |
Krok 2: Výpočet vztahu sousedních prvků
Poměr sousedních prvků exponenciálně je obvykle označen písmenem r. Je definován jako soukromý od rozdělení dalšího prvku na předchozí:
r = a(n+1) / a(n), kde a(n) A A (n+1) jsou sousední prvky progrese.
Abychom dokázali, že geometrická progrese je nekonečně klesající, je nutné ukázat, že poměr r je menší než 1. Pokud je R menší než 1, pak bude každý další prvek progrese menší než ten předchozí, což znamená nekonečné ubývání progrese.
Chcete-li vypočítat vztah r, můžete vybrat libovolné dva sousední prvky z progrese a vložit je do vzorce. Opakováním této operace pro různé páry prvků lze zajistit, že poměr r je vždy menší než 1.
- Příklad:
- Nechte exponenciálně vypadat: 2, 1, 0.5, 0.25, .
- Podívejme se na první dva prvky: 2 a 1.
- Vypočítáme poměr r: r = 1 / 2 = 0.5.
- Výsledná hodnota vztahu r je menší než 1, takže geometrická progrese je nekonečně klesající.
- Výpočet vztahu mezi sousedními prvky je důležitým krokem při dokazování, že geometrická progrese je nekonečně klesající.
- Výpočtem vztahů pro různé páry prvků lze zajistit, že poměr r je vždy menší než 1, což potvrzuje nekonečný pokles progrese.
Krok 3: sekvenční limit
Chcete-li najít limit sekvence, můžete použít vzorec:
lim a^n = 0, kde 0 < a < 1
To znamená, že pokud je hodnota prvního člena progrese (a) v intervalu (0, 1), pak bude limit sekvence směřovat k nule.
K prokázání této skutečnosti lze použít matematickou indukci.
Krok 1: Předpokládejme, že první člen progrese (a) je v intervalu (0, 1).
Krok 2: Připusťme, že pro některé k bude počet členů progrese usilovat o nulu. Dokazuje se, že pro k+1 je toto tvrzení také spravedlivé.
Krok 3: Vzhledem k tomu, že každý další člen progrese je roven předchozímu, inteligentnímu na a, pak bude limit k+1 sekvence roven limitu K-tého posloupnosti, který je chytrý na a. za předpokladu, že limit k-tého posloupnosti je 0, dostaneme, že limit k+1 sekvence bude také 0.
Mez sekvence geometrické progrese by tedy byla 0, pokud je první člen progrese v intervalu (0, 1).