Kužel je geometrické těleso, které má bod zvaný vrchol a uzavřený plochý tvar nazývaný základna. Od vrcholu jsou ke každému bodu základny položeny nerovné úseky zvané boční žebra. Velikost objemu kužele je určena vzorcem, který závisí na poloměru základny a výšce kužele.
Objem kužele se vypočítá podle následujícího vzorce: V = (1/3) * π * r^2 * h, kde v je objem kužele, π je číslo π (přibližně 3,14), R je poloměr základny, h je výška kužele. Při 7násobném zvětšení poloměru bude nový poloměr 7R a nový objem bude roven (1/3) * π * (7R)^2 * h, což lze zjednodušit jako (49/3) * π * r^2 * h.
Změna objemu kužele
Zvažte situaci, kdy se poloměr základny kužele zvýší 7krát. Chceme vědět, kolikrát se jeho objem změní.
Označíme počáteční poloměr kužele jako r a jeho objem jako V. Pokud se poloměr zvětší 7krát, lze nový poloměr zaznamenat jako 7r. Cílem je najít poměr objemů, tedy poměr Vnový k Vstarý.
| Poloměr základny kužele | Objem kužele |
| r | V |
| 7r | Vnový |
Použijeme vzorec pro objem kužele:
V = 1/3 × π × r 2 × h
Kde π (Pi) je konstantní hodnota blízká 3,14, r - poloměr základny a h - výška kužele.
Upozorňujeme, že výška kužele se nemění, když se poloměr základny zvětšuje. Můžeme tedy jednoduše nakreslit poměr objemů:
Chcete-li najít poměr objemů, rozdělte nový objem na starý:
Vnový / V = (1/3 × π × (7r) 2 × h) / (1/3 × π × r 2 × h)
Sdílíme společné faktory a vyjadřujeme Vnový / V ve formě jednoduchého zlomku:
Objem kužele se tedy změní v 49 při 7násobném zvětšení poloměru základny.
Určení objemu kužele
Vzorec pro výpočet objemu kužele má následující vzhled:
V = (1/3) * π * r^2 * h
- V-objem kužele
- π-matematická konstanta, přibližná 3,14159
- R-poloměr základny kužele
- h - výška kužele
K určení objemu kužele je nutné znát jeho poloměr základny a výšku. Poloměr základny kužele je vzdálenost od středu základny k jeho okraji. Při znalosti poloměru základny a výšky lze snadno vypočítat objem kužele podle daného vzorce.
Závislost objemu na poloměru
Objem kužele je určen vzorcem:
V = π * r 2 * h / 3
kde V - objem kužele, π - matematická konstanta, přibližná 3.14159, r - poloměr základny kužele, h - výška kužele.
Pokud zvýšíte poloměr základny 7krát, bude nový poloměr roven 7r. Nastražíme novou hodnotu poloměru do vzorce:
Vnový = π * (7r) 2 * h / 3
Zjednodušte tento výraz:
Vnový = π * 49 * r 2 * h / 3
Výsledný výraz lze zjednodušit:
Vnový = 49 * (π * r 2 * h / 3) = 49 * V
Takže objem kužele se zvýší 49krát, když se poloměr základny zvýší 7krát.
Zvýšení poloměru základny
Pokud se poloměr základny kužele zvýší 7krát, objem kužele se zvýší podle vzorce:
Koeficient zvýšení objemu
Z této tabulky je vidět, že 7násobné zvýšení poloměru základny má za následek 343násobné zvýšení objemu kužele. Je to proto, že objem kužele je úměrný kostce poloměru základny. Proto, když se poloměr zvýší na n krát, objem kužele se zvýší na n^3 krát.
Kolikrát se zvýší objem
Vezměme si situaci, kdy máme kužel s danou základnou a výškou. Předpokládejme, že poloměr základny kužele se zvýší 7krát. Otázkou je, kolikrát se objem tohoto kužele zvýší.
K vyřešení tohoto problému potřebujeme znát vzorec pro výpočet objemu kužele:
V = (1/3) * π * r^2 * h
- V-objem kužele
- π-matematická konstanta, přibližně 3.14159
- R-poloměr základny kužele
- h - výška kužele
Na základě podmínek úkolu víme, že poloměr základny se zvyšuje 7krát. Nechť je původní poloměr základny r, pak lze nový poloměr vyjádřit jako 7r.
Dáme nový poloměr do vzorce a zjistíme, kolikrát se objem zvýší:
V (Nový) = (1/3) * π * (7r)^2 * h
V (Nový) = (1/3) * π * 49R^2 * h
Chcete-li zjistit, kolikrát se objem zvětší, je nutné rozdělit nový objem v (Nový) na původní objem V:
Kolikrát se zvýší objem = v(Nový) / V
Kolikrát se objem zvýší = (((1/3) * π * 49R^2 * h) / ((1/3) * π * r^2 * h)
Kolikrát se zvýší objem = 49
Tímto způsobem se objem kužele zvýší 49krát, když se poloměr základny zvýší 7krát.
Příklad výpočtu
Představme si, že máme kužel se základnou poloměru 5 cm a výškou 10 cm.
Objem tohoto kužele lze vypočítat podle vzorce:
V = (1/3) * P * r 2 * h
kde V - objem kužele, P - pí číslo (přibližně se rovná 3.1416), r - poloměr základny, h - výška kužele.
Nyní, pokud zvýšíte poloměr základny v 7 krát nový poloměr bude roven 5 cm * 7 = 35 cm.
Vypočítáme nový objem kužele:
Vnový = (1/3) * P * (35 cm) 2 * 10 cm
Vnový = (1/3) * 3.1416 * (1225 cm 2) * 10 cm
Objem kužele se tedy zvýší přibližně na 7 krát při zvýšení poloměru základny v 7 krát.