Plocha trojúhelníku je jednou z hlavních charakteristik tohoto geometrického tvaru. Původně byla vypočítána geometrickou metodou, která vyžadovala měření stran a úhlů trojúhelníku. V průběhu času však matematici dokázali odvodit vzorec pro výpočet plochy trojúhelníku na základě jeho stran. Právě o tomto vzorci bude řeč v tomto článku.
Obvykle, když se mluví o výpočtu plochy trojúhelníku, vzpomenou si na vzorec: Plocha = 0,5 * A * b * sin (γ), kde a a b délka dvou stran trojúhelníku a γ - úhel mezi nimi. Tento vzorec je jen jedním z mnoha existujících.
Ukazuje se, že si lze představit plochu trojúhelníku i v jiné podobě. Na základě analýzy mnoha trojúhelníků a vzorců Plocha = 0,5 * A * b * sin (γ), může vzniknout podezření, že existuje jiný vzorec, kde je plocha rovna součinu dvou stran, který se umístí na sinus úhlu mezi nimi.
Význam vzorce plochy trojúhelníku
Vzorec plochy trojúhelníku je založen na principu geometrické konstrukce trojúhelníku. Základem je jednoduchý nápad: plocha trojúhelníku se rovná polovině součinu délky jedné z jeho stran na výšku nakreslenou k této straně.
Z toho vyplývá, že pro výpočet plochy trojúhelníku je nutné znát délku jeho stran a výšku spadlou na jednu ze stran. Pro trojúhelníky, u kterých jsou známy pouze délky stran, lze použít Geronův vzorec, který je založen na semiperimetru trojúhelníku.
Hodnota vzorce plochy trojúhelníku umožňuje řešit různé úkoly v geometrii. Například výpočet plochy trojúhelníku může být užitečný při výpočtu plochy pozemku, při navrhování silnic a budov, při vytváření trojúhelníků na mapě nebo rovině a při studiu fyziky.
Vzorec plochy trojúhelníku má tedy velký význam v geometrii a v praxi. Umožňuje najít plochu trojúhelníku po jeho stranách a používá se v různých oblastech k řešení úkolů a provádění měření.
Důkaz rovnosti díla stran
Podívejme se na trojúhelník se stranami a, b A c.
Pomocí Pythagorovy věty můžeme zaznamenat následující rovnost:
Také máme vzorec pro oblast trojúhelníku:
S = 1/2 * a * b * sin(C),
kde S je plocha a C je úhel mezi stranami a A b.
Pomocí příslušných trigonometrických identit si můžeme sin(C) představit jako poměr opačné strany k přeponě trojúhelníku:
Pak vzorec pro oblast trojúhelníku bude vypadat:
S = 1/2 * a * b * (a / c).
Tím, že tyto závorky odhalíme a zkrátíme, získáme:
Na základě výsledného výrazu a rovnosti a 2 + b 2 = c 2 můžeme konstatovat, že:
Tímto způsobem jsme prokázali rovnost součinu stran přepony a dvojnásobné plochy trojúhelníku:
Geometrické vysvětlení vzorců plochy
Pro začátek si připomeňme, že plocha jakéhokoli pravoúhlého trojúhelníku se rovná polovině součinu délek jeho katetů. Ale co když trojúhelník není obdélníkový?
K vyřešení tohoto problému použijeme pojem výška trojúhelníku. Výška je kolmice sestoupená z vrcholu trojúhelníku k základně (jedna z jeho stran). Pojďme nakreslit tuto výšku v našem trojúhelníku.
Plynule přejdeme k hlavnímu bodu: výška rozděluje trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky. Projekce základny na přímku obsahující výšku je ve své podstatě základem pravoúhlého trojúhelníku.
Označme délku strany trojúhelníku vedenou mezi vrcholem trojúhelníku a základnou a výšku přes h.
Pak se plocha našeho trojúhelníku rovná součtu ploch dvou pravoúhlých trojúhelníků, které vznikají při dělení našeho trojúhelníku výškou:
Plocha = (1/2) * A * h + (1/2) * A * h
Zkrátíme výraz a dostaneme:
Plocha = a * h
Takže jsme získali vzorec plochy trojúhelníku: plocha se rovná součinu délky strany nakreslené mezi vrcholem a základnou do výšky trojúhelníku.
Nyní máme geometrické vysvětlení vzorce plochy trojúhelníku.