Geometrická progrese je posloupnost čísel, ve které je každé další číslo vynásobeno předchozím konstantním číslem nazývaným jmenovatel. Ne všechny geometrické progrese jsou však nekonečně klesající.
Pro důkaz, že geometrická progrese je nekonečně klesající, je nutné stanovit, že její jmenovatel je menší než jedna. To znamená, že každé další číslo bude menší než předchozí.
Použijeme vzorec pro n. člena exponenciálně: an = A1 * q^(n-1), Kde an - n je člen progrese, A1 je první člen progrese, Q je jmenovatel progrese. Pokud je q < 1, pak každý další člen progrese bude menší než předchozí, což znamená nekonečné ubývání progrese.
Geometrická progrese: nekonečné ubývání
Pokud hodnota jmenovatele vezme hodnotu mezi 0 a 1, pak je GP klesající. V tomto případě bude každé další číslo menší než předchozí. Abychom však dokázali, že geometrická progrese je nekonečně klesající, je nutné ukázat, že s každým zvýšením čísla člena sekvence bude jeho hodnota stále menší.
Nechť je první člen GP roven a jmenovatel roven q. n. člen GP pak lze nalézt podle vzorce: an = a * q^(n-1), kde n je číslo člena sekvence.
Zvažte posloupnost členů GP:
Aby bylo možné prokázat nekonečné ubývání GP, je nutné prokázat, že každý další člen bude menší než ten předchozí:
a1 > a2, a2 > a3, a3 > a4, .
Nastavíme vzorec pro n-tého a (n + 1) člena GP:
Nyní porovnáme dva členy GP:
Protože jmenovatel q je menší než 1, pak nerovnost 1/q^n > 1/q^(n-1) se provádí. Takže každý další člen GP bude menší než ten předchozí, což dokazuje, že geometrická progrese je nekonečně klesající.
Pojem a vlastnosti
kde an n-člen progrese,
a1 - první člen progrese,
q-jmenovatel progrese,
n-číslo člena progrese.
Vlastnosti geometrické progrese zahrnují:
- Jakýkoli nenulový člen GP si lze představit jako součin q A předchozího člena progrese.
- Členové GP mohou být kladná i záporná čísla.
- Pokud 0 < q < 1, то прогрессия убывает, а если q >1, pak progrese stoupá.
- Každý člen GP, počínaje druhým, se rovná součinu předchozího člena na jmenovateli progrese.
- Součin několika členů GP se rovná součinu prvního člena a jmenovatele počtu těchto členů.
Je důležité poznamenat, že geometrická progrese může být nekonečná i konečná. Aby bylo možné prokázat, že GP je nekonečně klesající, je nutné zajistit, aby hodnota jmenovatele byla v intervalu 0 < q < 1.
Analýza limitu
Nechť máme geometrickou progresi s prvním členem a a jmenovatelem q.n. člen progrese je pak dán vzorcem an = a * q^(n-1).
Abychom ukázali, že geometrická progrese je nekonečně ubývající, musíme najít hranici tohoto pokroku, když n aspiruje na nekonečno.
Pomocí vzorce pro n-tého člena exponenciálně můžeme vyjádřit hranici progrese následovně:
lim(n->∞) an = lim(n->∞) a * q^(n-1)
Víme, že pokud je absolutní hodnota čísla q menší než jedna, pak se limit konverguje k nule. To znamená, že pokud / q / < 1, pak bude limit geometrické progrese nulový, což znamená, že progrese je nekonečně klesající.
Takže k prokázání, že geometrická progrese je nekonečně klesající, stačí ukázat, že| q / < 1.
Příklady nekonečně ubývajících geometrických progresí
Nekonečně ubývající geometrická progrese je progrese, ve které je každé další číslo menší než předchozí.
Níže je několik příkladů nekonečně ubývajících geometrických progresí:
- Pokrok se jmenovatelem 0.5: 1, 0.5, 0.25, 0.125, .
- Pokrok se jmenovatelem 0.2: 10, 2, 0.4, 0.08, .
- Pokrok se jmenovatelem -2: 1, -2, 4, -8, .
Ve všech těchto příkladech je každé další číslo menší než předchozí a progrese směřuje k nule nebo záporným hodnotám.