Derivát funkce to je jeden z nejdůležitějších pojmů matematické analýzy. Umožňuje najít rychlost změny funkce v každém jejím bodě. Pokud je funkce sudá, znamená to, že je symetrická vzhledem k ose ordinat. Tato funkce má vlastnost f (x) = f (- x) pro jakoukoli hodnotu x v oblasti definice funkce.
Jak najdu derivát sudé funkce? Ukázalo se, že to lze udělat velmi jednoduše. K tomu stačí vzít v úvahu pouze pozitivní hodnoty argumentu, protože u záporných hodnot získáme podobné výsledky symetrií.
Pokud je funkce f (x) sudá, pak derivace funkce v libovolném bodě se rovná derivaci z této funkce v kladném bodě s opačným znaménkem. Jinými slovy, můžeme to zjednodušit použitím této samotné symetrie.
Odvozená funkce f (x) pro sudou funkci
Derivát funkce f (x) pro sudou funkci má také symetrii. Pokud je F(x) sudá funkce, pak F'(x) je derivátem této funkce, bude také sudou funkcí. To znamená, že derivát funkce f (x) bude mít symetrii vzhledem k ose Oy.
Všimněte si, že pokud je funkce f(x) sudá a diferencovatelná v celé oblasti definice, pak derivát f'(x) bude mít následující formu: f'(x) = f'(-x).
Jinými slovy, Chcete-li najít derivát sudé funkce, musíte najít derivát pro kladné hodnoty x a poté nahradit x na-x ve výsledném výrazu.
Derivát funkce f (x) pro sudou funkci lze použít k řešení různých problémů, jako je nalezení extrémních bodů nebo stanovení chování funkce v okolí osy Oy.
Sudá funkce: Definice a funkce
Funkce f(x) se nazývá sudá, pokud je pro jakoukoli hodnotu x z oblasti definice funkce splněna podmínka f (x) = f (- x).
Základní vlastnosti sudých funkcí:
- Graf sudé funkce je symetrický vzhledem k ose ordinat. To znamená, že pokud bod (X, Y) patří grafu funkce, pak bod (X, Y) také patří grafu.
- Pokud má funkce průsečíky s osami souřadnic, budou symetrické vzhledem k ose ordinat. Pokud například bod (a, 0) patří grafu funkce, pak bod (- a, 0) bude také patřit grafu.
- Intervaly vzestupné a sestupné sudé funkce mohou být symetrické nebo nesymetrické vzhledem k ose ordinat, v závislosti na typu funkce.
K nalezení odvozené sudé funkce f (x) lze použít vlastnost symetrie. Pokud je funkce sudá, pak derivace v libovolném bodě X se rovná derivaci v symetrickém bodě x.tato vlastnost umožňuje snížit výpočty a zjednodušit nalezení derivace.
Vlastnosti odvozené sudé funkce
Vlastnost symetrie vzhledem k ose y dává sudým funkcím některé jedinečné vlastnosti, včetně vlastnosti derivace.
Při odvození paritní funkce f(x) zmizí všichni členové s lichými hodnotami stupně, protože hodnoty f (x) a f (- x) jsou stejné. To znamená, že derivát sudé funkce bude představovat součet všech členů počítací řady.
Derivát sudé funkce tak bude vždy sudou funkcí. Bude mít stejné vlastnosti symetrie vzhledem k ose y jako původní funkce a bude mít graf symetrický vzhledem k ose y.
Z toho vyplývá, že pokud znáte derivát sudé funkce V jednom bodě, znáte derivát ve všech symetrických bodech vzhledem k ose y.
Tato vlastnost odvozených sudých funkcí může být použita k usnadnění výpočtu a analýzy funkcí, zjednodušení jejich reprezentace a předvídání jejich chování v různých bodech.
Jak najít derivát sudé funkce f (x)
Sudá funkce f (x) se vyznačuje vlastností symetrie vzhledem k ose y. To znamená, že graf funkce f(x) má symetrický tvar a stejné hodnoty funkce na opačných stranách osy y.
K nalezení odvozené sudé funkce lze použít vlastnost symetrie. Pokud je F(x) sudá funkce, pak derivát f'(x) bude lichá funkce.
K nalezení odvozené sudé funkce f(x) lze použít obecná pravidla diferenciace. Pokud je f(x) reprezentováno součtem nebo rozdílem jiných funkcí, pak derivát f'(x) se rovná součtu nebo rozdílu derivátů těchto funkcí.
Lze také použít vzorec odvozené sudé funkce:
| Pokud je F (x) sudá funkce, pak | f'(x) = f'(-x) |
|---|
Jinými slovy, Chcete-li najít derivát sudé funkce f(x), musíte najít derivát v bodě x a poté nahradit x na-x.
Nechť f (x) = x^2. Pro nalezení derivace této sudé funkce najdeme derivát v bodě x:
Nyní vyměníme x na x:
Derivát sudé funkce f(x) = x^2 se tedy rovná f'(x) = -2x.