Sinus – jedna z hlavních trigonometrických funkcí, která vyjadřuje poměr délky protilehlé strany k délce přepony pravoúhlého trojúhelníku. Co však dělat, pokud se zabýváme rovnoramenný trojúhelník, který nemá výšku v obvyklém chápání?
Rovnoramenný trojúhelník je trojúhelník, který má dvě strany stejné. Nalezení sinusu úhlu v rovnoramenném trojúhelníku bez výšky je poměrně netriviální úkol. Existuje však alternativní způsob, jak určit hodnotu sinusu daného úhlu.
Pomocí vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku-úhly na základně jsou stejné, můžete vytvořit výšku, která bude bissectrisem daného úhlu. Pokud najdeme bissectrisu, můžeme původní úhel rozdělit na dva úhly stejné. Dále je možné určit sinus každého z těchto úhlů pomocí vzorce pro pravoúhlý trojúhelník. Když známe hodnoty sinusu jednoho ze získaných úhlů, můžeme určit hodnotu sinusu původního úhlu pomocí příslušných trigonometrických vazeb.
Sinus úhlu v rovnoramenném trojúhelníku
Sinus úhlu v rovnoramenném trojúhelníku lze nalézt pomocí známých délek jeho stran. K tomu není nutné používat výšku trojúhelníku, což může být užitečné při absenci těchto informací.
V rovnoramenném trojúhelníku jsou si obě strany rovny a třetí se od nich liší. Označíme strany trojúhelníku: a, a A c.
Sinus úhlu v rovnoramenném trojúhelníku lze nalézt pomocí vzorce:
sin α = (c/2a)
kde α je úhel a c a a jsou délky stran trojúhelníku.
Při znalosti délek stran trojúhelníku lze pomocí tohoto vzorce vypočítat sinus úhlu. Tento vzorec bere v úvahu poměr stran trojúhelníku a umožňuje získat hodnotu sinusu úhlu bez použití výšky trojúhelníku.
Když znáte hodnotu sinusu úhlu, můžete jej použít k řešení různých problémů a výpočtů v rovnoramenných trojúhelnících.
Všimněte si, že tento vzorec se používá pouze pro rovnoramenné trojúhelníky. V případě nerovného bederního trojúhelníku použití tohoto vzorce neposkytne správný výsledek.
Sinus úhlu a jeho význam
Hodnota sinusu úhlu leží v intervalu -1 až 1. Když je úhel 0 stupňů, sinus je 0. Při úhlu 90 stupňů je sinus 1 a při úhlu 180 stupňů je sinus 0. V ostatních případech je hodnota sinusu mezi těmito extrémními hodnotami.
| Úhel, stupně | Význam sinusu |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 30 | 0.5 |
| 45 | 0.707 |
| 60 | 0.866 |
| 90 | 1 |
| 120 | 0.866 |
| 135 | 0.707 |
| 150 | 0.5 |
| 180 | 0 |
Když znáte hodnotu úhlu, můžete k výpočtu hodnoty sinusu použít tabulku sinusů nebo kalkulačku.
Definice rovnoramenného trojúhelníku
Rovnoramenný trojúhelník lze definovat na dvou stejných stranách, nazývaných základy a rovným úhlem umístěným mezi těmito stranami, který se nazývá horní roh.
V rovnoramenném trojúhelníku lze kteroukoli ze dvou stejných stran považovat za základnu a odpovídající úhel za vrcholový úhel. Rovnoramenný trojúhelník je na jeho základech označen symbolem"==".
Způsoby, jak najít sinus úhlu
Sinus úhlu v rovnoramenném trojúhelníku lze nalézt několika způsoby:
- Použití poměru v rovnoramenném trojúhelníku mezi boční stranou a základnou: sin(úhel) = (boční) / (polovina základny) .
- Použití geometrických vlastností rovnoramenného trojúhelníku s výškou vedenou od vrcholu k základně. Sin(úhel) = (výška) / (boční strana).
Oba způsoby umožňují vypočítat sinus úhlu, aniž byste museli znát výšku trojúhelníku. Výběr vhodného způsobu závisí na známých údajích o trojúhelníku.
Nalezení sinusového úhlu bez použití výšky
Ať máme rovnoramenný trojúhelník ABC, ve kterém je úhel A roven hledanému úhlu. Je známo, že strana AB se rovná straně AC, označíme ji jako a. známá je také strana BC, kterou označíme jako b.
Podle kosinus věty se součet čtverců dvou stran trojúhelníku rovná dvojnásobnému součinu těchto stran na kosinus úhlu mezi nimi. Použijeme-li tuto větu v našem trojúhelníku, dostaneme:
- a 2 + b 2 = 2ab*cosA
Abychom našli sinus úhlu a, musíme jej vyjádřit známými veličinami. K tomu použijeme známou trigonometrickou identitu spojující sinus a kosinus úhlu:
- sin 2 A + cos 2 A = 1
Nastrčíme hodnotu cosA z první rovnice do této identity a vyjádříme sinA:
- sin 2 A + (1/2 - a 2 /2b 2 ) 2 = 1
- sin 2 A + 1/4 - a 2 /b 2 + a 4 /4b 4 = 1
- sin 2 A = 3/4 - a 2 /b 2 - a 4 /4b 4
- sinA = sqrt(3/4 - a 2 /b 2 - a 4 /4b 4 )
Tímto způsobem můžeme najít sinus úhlu v rovnoramenném trojúhelníku bez použití výšky, protože známe hodnoty stran trojúhelníku.
Příklady výpočtu sinusu úhlu
Zvažte několik příkladů výpočtu sinusu úhlu v rovnoramenném trojúhelníku bez výšky:
Příklad 1:
Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC, kde úhel A je 45 stupňů. Najdeme sinus tohoto rohu.
Protože trojúhelník je rovnoramenný, úhly A A B jsou si rovny. Takže úhel B je také 45 stupňů.
Je známo, že součet úhlů v trojúhelníku je 180 stupňů. Úhel C je tedy roven 180 - 45 - 45 = 90 stupňů.
Nyní můžeme použít pravidlo sinusů: sin(a) = sin(C) / AB.
Máme pouze jednu stranu trojúhelníku-AB, takže musíme najít délku strany BC.
Protože trojúhelník je rovnoramenný, strana BC se rovná straně AC. Takže musíme najít délku strany AC.
Vezměte libovolnou délku strany AB = 1. Pak podle Pythagorovy věty AC = √(AB^2 + BC^2) = √(1^2 + BC^2) = √(1 + BC^2).
Protože trojúhelník je rovnoramenný, pak je BC rovno AC. Můžeme tedy napsat rovnici: BC = √(1 + BC^2).
Vyřešíme tuto rovnici: BC^2 = 1 + BC^2, 0 = 1. Rozpor.
Příklad 2:
Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC, kde úhel A je 30 stupňů. Najdeme sinus tohoto rohu.
Stejně jako první příklad, úhel B bude také 30 stupňů.
Úhel C je roven 180 - 30 - 30 = 120 stupňů.
Platí pravidlo sinus, sin(30) = sin (120) / AB.
Abychom našli délku strany BC, musíme najít délku strany AC.
Ab = 1. Pak AC = √(1^2 + BC^2).
Proto BC^2 = AC^2 - 1 = (√(1 + BC^2))^2 - 1 = 1 + BC^2-1 = BC^2.
Z toho vyplývá, že BC = AC = 1.
Nyní můžeme vypočítat sin (30) = sin(120) / 1 = √3 / 2.
Sinus úhlu 30 stupňů v rovnoramenném trojúhelníku, kde jsou úhly při jediné výšce 30 stupňů, je tedy √3 / 2.