Vepsaný úhel - je to úhel, jehož vrchol leží na kružnici, zatímco strany procházejí dvěma body na kružnici a vrcholem úhlu. Podle oblouku, který tvoří tento úhel, lze najít jeho velikost. V tomto článku se podíváme na několik způsobů, jak najít vepsaný úhel, a uvedeme příklady řešení problémů souvisejících s tímto tématem.
První způsob, jak najít vepsaný úhel v oblouku, je založen na vlastnosti centrálního úhlu. Středový úhel odpovídající danému oblouku je vepsaný úhel, který je tvořen tímto obloukem. K nalezení zadaného úhlu tedy stačí najít středový úhel odpovídající danému oblouku.
Velikost centrálního úhlu lze určit pomocí vzorce, který váže délku oblouku a poloměr kružnice. Pokud je délka oblouku L a poloměr kružnice je R, pak je velikost centrálního úhlu θ určena vzorcem θ = L/r. Umístěním známých hodnot délky oblouku a poloměru kružnice do této rovnice lze najít hledaný úhel.
Druhý způsob, jak najít vepsaný úhel v oblouku, je založen na vlastnosti protilehlého středového úhlu. Protilehlý středový úhel odpovídající danému oblouku se rovná polovině nepřátelského úhlu, který tvoří Chord a poloměr kružnice. Na základě této vlastnosti lze k nalezení vepsaného úhlu najít protilehlý středový úhel a vynásobit jej 2.
Co je vepsaný úhel?
Vepsaný úhel má řadu zajímavých vlastností, které umožňují jeho použití při řešení různých geometrických problémů. Například vepsaný úhel se vždy rovná polovině míry oblouku, který opře. To znamená, že když známe délku oblouku, můžeme najít velikost vepsaného úhlu a naopak - když známe velikost vepsaného úhlu, můžeme najít délku oblouku.
Také vepsané úhly opřené o stejný oblouk jsou si rovny. Pokud mají dva kružnice stejný oblouk, pak jsou úhly opřené o tento oblouk stejné. Tato vlastnost je velmi užitečná při řešení problémů s hledáním neznámých úhlů pomocí vepsaných úhlů.
Nechť je uveden obvod s poloměrem 5 cm a obloukem, který spočívá na vepsaném úhlu 30°. Najdeme délku tohoto oblouku.
Pomocí vlastnosti zadaného úhlu-úhel se rovná polovině délky oblouku, najdeme délku oblouku podle vzorce: délka oblouku = (míra úhlu / 360°) * (2 * π * poloměr).
Pro tento příklad, délka oblouku = (30° / 360°) * (2 * 3.14 * 5 viz) ≈ 2.62 cm.
Definice a příklady
Definice a vlastnosti vepsaných úhlů jsou důležité pro řešení geometrických problémů a konstrukci tvarů. K nalezení zadaného úhlu oblouku lze použít několik způsobů:
| Způsob | Popis |
|---|---|
| 1. Polocentrický úhel | Úhel uzavřený mezi hordou a poloměrem vedeným k průsečíku hordy a oblouku. |
| 2. Věta o centrálním uhlí | Úhel, který obsahuje oblouk a protíná jeho chord, se rovná polovině centrálního úhlu opřeného o stejný chord. |
| 3. Věta o uhlí opřeném o průměr | Úhel opírající se o průměr obvodu je rovný. |
Příklady zadaných úhlů:
V kontextu geometrie a řešení problémů je schopnost najít zapadané úhly podle oblouků nezbytnou a užitečnou dovedností.
Jak najdu zapadlý úhel obloukem?
Formule: vepsaný úhel se rovná polovině míry oblouku, na kterém se nachází.
Chcete-li vypočítat velikost zadaného úhlu obloukem, musíte nejprve určit délku oblouku pokrytého úhlem.
Proto:
1. Je třeba najít délku celého kruhu, na kterém je oblouk. K tomu použijte vzorec:
Délka kruhu = 2πr,
kde π je matematická konstanta přibližně 3,14 a r je poloměr kružnice.
2. Určete, která část obvodu tvoří váš oblouk. K tomu budete muset znát středový úhel (ve stupních) mezi počátečním a koncovým bodem oblouku.
3. Najděte délku oblouku podle následujícího vzorce:
Délka oblouku = (středový úhel / 360°) * délka kružnice.
Jakmile najdete délku oblouku, abyste našli velikost zadaného úhlu, musíte délku oblouku rozdělit na 2:
Velikost zadaného úhlu = délka oblouku / 2.
Pomocí vzorce tedy budete moci najít velikost zadaného úhlu podle daného oblouku na kružnici.
Způsoby a vzorce
K nalezení vepsaného úhlu oblouku lze použít různé způsoby a vzorce. Níže je uvedeno několik z nich:
- Sinusový vzorec. Pokud je známa délka oblouku a poloměr kružnice, můžete použít vzorec úhel = (délka oblouku / poloměr). Tento vzorec je založen na poměru mezi délkou oblouku kružnice a centrálním úhlem, který tento oblouk pokrývá.
- Trojúhelník s poloměrem a Hordou. Pokud je znám poloměr kružnice a délka hordy, můžete použít vzorec úhel = 2 * arcsin (délka hordy / (2 * poloměr)). Tento vzorec je založen na poměru mezi poloměrem, chordou a centrálním úhlem tvořeným chordou.
- Trojúhelník s průměrem a chordou. Pokud je znám průměr kružnice a délka chordů, můžete použít vzorec úhel = arcsin (délka hordy / průměr). Tento vzorec je založen na poměru mezi průměrem, chordou a polovinou centrálního úhlu tvořeného chordou.
- Věta o zadaných úhlech. Pokud je znám středový úhel, který pokrývá oblouk, pak se vepsaný úhel rovná polovině tohoto centrálního úhlu.
Jako příklad vezměme situaci, kdy je známa délka oblouku a poloměr kružnice. Podle vzorce úhel = (délka oblouku / poloměr) lze vypočítat hodnotu zadaného úhlu.