Falešné mince - je to jeden z typických příkladů úkolů, které testují logické myšlení a algoritmické řešení. V tomto úkolu musíme najít falešnou minci mezi 27 exempláři pomocí minimálního počtu vážení.
Existuje 27 identických mincí, z nichž jedna je falešná. Úkolem je zjistit, zda je falešná mince těžší nebo lehčí než ta pravá. K jejímu vyřešení nám pomůže algoritmus dělení hledané množiny na menší podmnožiny.
Algoritmus navrhuje rozdělit všechny mince do 3 skupin po 9 mincích v každé. Poté je třeba zvážit 2 ze 3 skupin na váze. V případě rovnosti vah je falešná mince ve zbývající třetí skupině. V případě, že hmotnosti skupin nejsou stejné, je falešná mince detekována v nejtěžší nebo nejlehčí skupině. Dále pomocí podobného algoritmu najdeme falešnou minci z 9 exemplářů, poté ze 3 a nakonec určenou falešnou minci z páru. Výsledná skupina dvou mincí se váží, aby se definitivně určilo, která z nich je falešná – lehčí nebo těžší.
Definice falešné mince
Pro stanovení falešné mince z 27 exemplářů za minimální počet vážení lze použít strategii rozdělení do skupin.
Krok 1: mince rozdělíme do 3 skupin po 9 mincích v každé. Nechť je prvních 9 mincí označeno jako skupina A, následujících 9 mincí je skupina B a posledních 9 mincí je skupina B.
Krok 2: Provedeme první vážení porovnáním skupiny A se skupinou B.
- Pokud se hmotnost skupiny a rovná hmotnosti skupiny B, pak je falešná mince ve skupině B.
- Pokud je hmotnost skupiny a větší než hmotnost skupiny B, pak je falešná mince ve skupině a.
- Pokud je hmotnost skupiny a nižší než hmotnost skupiny B, pak je falešná mince ve skupině B.
Krok 3: vybranou skupinu rozdělíme na 3 části se 3 mincemi v každé. Budeme pokračovat v vážení v analogii s krokem 2 a určíme umístění falešné mince v jedné z vybraných 3 mincí.
Krok 4: zbývajících 6 mincí rozdělíme do 2 skupin po 3 mincích v každé. Provedeme Poslední vážení, určité skupiny analogicky s krokem 2, určíme přesnou polohu a hmotnost falešné mince.
Výzva k nalezení falešné mince
V tomto úkolu musíme najít jednu falešnou minci z 27 exemplářů za minimální množství vážení. Falešná mince má údajně jinou hmotnost než skutečné mince.
K vyřešení tohoto problému lze použít binární dělení. Tato metoda spočívá v rozdělení skupiny mincí na dvě stejné části a následném srovnání jejich váhy.
Pokud je tedy falešná mince v jedné ze dvou skupin mincí, bude detekována při jedné vážení. V případě, že falešná mince není součástí dvou skupin, lze pro každou ze získaných skupin mincí použít metodu binárního dělení a snížit počet mincí k vážení na minimum.
Tento přístup umožňuje snížit počet vážení na minimum a najít falešnou minci z 27 exemplářů. Přitom není třeba znát hmotnost skutečných mincí ani hmotnost falešné mince.
Metoda vážení
K nalezení falešné mince z 27 exemplářů za minimální počet vážení lze použít metodu dělení na tři části.
V první fázi je třeba zvážit 9 mincí na jedné straně a 9 mincí na druhé straně vah. Pokud je rovnováha vah zachována, znamená to, že falešná mince je mezi zbývajícími 9 exempláři a v této fázi lze vyhledávání zúžit.
Ve druhém kroku je nutné vážit 3 mince na jedné straně a 3 mince na druhé straně vah. Pokud zůstatek zůstane zachován, falešná mince je mezi zbývajícími 3 exempláři.
Ve třetí fázi je nutné vážit 2 mince na jedné straně a 2 mince na druhé straně vah. Pokud zůstatek zůstane zachován, falešná mince je mezi dvěma zbývajícími exempláři.
V poslední fázi stačí vážit dvě mince a porovnat jejich hmotnost. Pokud bude jedna mince lehčí než druhá, bude to falešná mince.
Pomocí metody dělení na tři části a důsledného zúžení vyhledávání lze tedy najít falešnou minci 27 exemplářů za minimální počet vážení.
Poznámka: Tato metoda předpokládá, že falešná mince se liší od skutečné pouze hmotností a lehčí.
Řešení úlohy s 27 instancemi
Tento úkol je velmi zajímavý a vyžaduje logické myšlení a strategický přístup. Cílem úkolu je pomocí vyvážených vah najít falešnou minci mezi 27 exempláři za minimální počet vážení.
K vyřešení tohoto problému použijeme metodu dělení množiny na tři stejné části a sériové srovnání.
- Rozdělíme 27 mincí do tří skupin po 9 mincích. Označíme tyto skupiny jako A, B A C.
- Vážíme skupiny A A B na váze.
- Pokud se váhy srovnají, pak je falešná mince ve skupině C, přejdeme ke kroku 7.
- Pokud je skupina A lehčí, přejdeme ke kroku 5. Pokud je skupina B lehčí, přejdeme ke kroku 6.
- Vážíme dvě mince ze skupiny a.
- Pokud jsou mince porovnány hmotností, pak je falešná mince ve třetí minci skupiny a. Pokud jsou mince porovnány podle hmotnosti jako stejné, pak je falešná mince ve druhé minci skupiny a.
- Provádíme podobné kroky pro skupinu C.
Tímto způsobem budeme moci najít falešnou minci 27 exemplářů za minimální vážení, pouze za 3 Vážení. Tato metoda je založena na myšlence použít dělení množiny na stejné části a konzistentní srovnání vážení.
Výsledky a analýza
Po několika váženích bylo zjištěno, že mezi 27 předloženými mincemi je jedna falešná. Úkolem bylo určit tuto falešnou minci za minimální množství vážení.
K řešení tohoto problému byl navržen následující přístup:
- Rozdělíme mince do 3 skupin-9 mincí v každé.
- Zvážíme první dvě skupiny mincí. Pokud je jejich hmotnost stejná, pak je falešná mince ve třetí skupině. V opačném případě je falešná mince v jedné ze dvou vážených skupin.
- Zvážíme všechny dvě mince ze skupiny, ve které byla zjištěna nerovnováha vah. Pokud je jejich hmotnost stejná, pak je falešná mince třetí mincí. V opačném případě je falešná mince jednou ze dvou vážených mincí.
- Zvážíme poslední dvě mince z vybrané skupiny. Falešná mince bude mít nižší hmotnost.
Za minimální počet vážení tak lze najít falešnou minci 27 exemplářů.
Při hledání falešné mince 27 exemplářů za minimální Vážení jsme použili algoritmus dělení hmotnostních skupin na polovinu. Díky tomuto algoritmu jsme byli schopni rychle a efektivně najít falešnou minci.
Základní myšlenkou bylo rozdělit mince do skupin po 9 exemplářích. Pak jsme porovnali váhy dvou skupin: pokud jsou stejné, pak celá skupina mincí nesla falešnou minci a my se přesuneme do další skupiny. Pokud se váhy skupin lišily, byla falešná mince v jedné z těchto skupin a my jsme skupinu nadále rozdělovali na polovinu a porovnávali váhy.
Díky tomuto přístupu se nám podařilo najít falešnou minci za minimální množství vážení. Například v našem případě nám trvalo pouze 3 Vážení, abychom přesně identifikovali falešnou minci.
Algoritmus dělení hmotnostních skupin na polovinu je tedy účinným a optimálním způsobem, jak najít falešnou minci z velkého počtu exemplářů za minimální počet vážení.