Rozdělení čísla na prvočísla je jedním z hlavních úkolů teorie čísel. V tomto článku se podíváme na rozdělení čísla dva na vzájemně prvočísla a představíme čtyři způsoby provedení tohoto úkolu.
Číslo dvě je prvočíslo, takže jeho rozklad na prvočísla se skládá pouze ze samotného čísla dva. K získání vzájemně jednoduchých faktorů však lze použít různé metody.
Prvním způsobem je rozložit číslo dvě na jednotku a samotné číslo dvě. Takový rozklad zaručuje vzájemně jednoduché faktory, protože jednotka a dva nemají společné dělitele kromě jednotky.
Druhým způsobem je rozložit číslo dvě na jednotku a záporné číslo dvě. Při tomto rozkladu také získáváme vzájemně jednoduché faktory, protože záporné číslo dva a jeden nemají společné dělitele kromě jedničky.
Metoda první: rozklad čísla dva na prvočísla
Přírodní čísla, která lze rozložit na prvočísla, se nazývají složená čísla. Číslo dvě je prvočíslo, protože má pouze dva dělitele - jedničku a sebe.
Metoda první: rozklad čísla dva na prvočísla spočívá v tom, že číslo dva lze představit jako součin sebe sama a jednotek. Rozklad čísla dva na prvočísla tedy bude vypadat následovně:
Jinými slovy, číslo dvě lze představit pouze jako součin sebe sama a jednotky, protože nemá jiné dělitele.
Prvním způsobem rozkladu čísla dva na prvočísla je tedy to, že číslo dva se jeví jako součin sebe sama a jednotek.
Krok 1: Definice prvočísel
K rozkladu čísla dvou na vzájemně prvočísla použijeme jako faktory prvočísla. Definice prvočísel je klíčovým krokem v tomto procesu.
Existuje několik metod pro určení prvočísel. Jednou z nejjednodušších metod je ověření čísla o dělitelnosti všemi čísly od 2 do odmocniny z tohoto čísla. Pokud číslo není dělitelné žádným z těchto čísel, je to prvočíslo.
Abychom například zjistili, zda je číslo 17 prvočíslo, zkontrolujeme jej na dělitelnost čísly od 2 do 4 (Druhá odmocnina od 17 zaokrouhlená na větší stranu). Protože není dělitelné žádným z těchto čísel, je to prvočíslo.
Znalost prvočísel a metod jejich určování nám tedy umožňuje rozložit číslo dvě na vzájemně prvočíselné faktory, což zvážíme v dalším kroku.
Krok 2: Kontrola prvočísel, zda jsou rozdělena do dvou
Pokud je zvolený jednoduchý faktor rozdělen na dva beze zbytku, pak číslo dva nemůže být reprezentováno jako součin dat faktorů. V tomto případě by měl být tento multiplikátor odstraněn ze seznamu možných možností.
Například pro číslo dvě uvažujeme o možných prvočíslech: 1, 2.
Pro jednoduchý faktor 1 nemá dělení dvěma smysl, protože jakékoli číslo je děleno jednotkou beze zbytku.
Pro jednoduchý faktor 2 je děleno dvěma beze zbytku, takže číslo dva může být reprezentováno jako součin násobitele 2 a 1.
Kontrola prvočísel na dělení dvěma je důležitým krokem v procesu rozkladu čísla dva na vzájemně prvočísla a pomáhá vyloučit některé možnosti, což usnadňuje další analýzu.
Poté, co jsme rozložili číslo dvě na jeho prvočísla, zbývá už jen odvodit jejich seznam. V tomto případě lze číslo dvě rozdělit na následující vzájemně jednoduché faktory:
Jak je vidět z rozkladu čísla dva, jeho jediným vzájemně prvočíslem je číslo 2 samo o sobě. To znamená, že číslo dvě nelze rozložit na součin ostatních vzájemně prvočísel.
Rozklad čísla dva na vzájemně prvočísla se používá v různých matematických a algoritmických úlohách. Mohou to být například úkoly spojené s nalezením největšího společného dělitele nebo nejmenšího společného násobku.
Metoda druhá: rozklad čísla dva na jeho dělitele
| Počet | Násobitel |
|---|---|
| 2 | 1, 2 |
Druhý způsob rozkladu čísla dva na vzájemně prvočísla je tedy redukován na jeho vlastní dělitele: jednotku a dvojku. Obě tato čísla jsou prvočísla a nemají společné dělitele, takže budou vzájemně prvočísla dvě.
Krok 1: definice dělitelů čísla dva
Abychom tedy rozložili čísla dvě na vzájemně prvočísla, máme pouze dvě možnosti: 1*2 a 2 * 1. Obě varianty splňují podmínku vzájemné jednoduchosti, protože v obou případech jsou faktory vzájemně jednoduchými čísly.
V tomto kroku jsme identifikovali všechny děliče čísla dva, které budou použity při jeho rozkladu na vzájemně prvočísla.
Krok 2: Kontrola dělitelů, zda jsou vzájemně jednoduché
Chcete-li ověřit vzájemnou jednoduchost dělitelů, musíte najít jejich největší společný dělitel. Největší společný dělitel lze určit pomocí Euklidova algoritmu. Pokud je výsledný největší společný dělitel roven jedné, pak jsou děliče vzájemně jednoduché a mohou být použity k rozkladu čísla dva.
Pro snadnou kontrolu a organizaci dat si lze představit děliče ve formě tabulky. V prvním sloupci tabulky jsou uvedeny všechny možné dělitele čísla dva a ve druhém sloupci jsou uvedeny jejich největší společné dělitele. Poté je nutné analyzovat výslednou tabulku a rozlišit všechny páry dělitelů, u kterých je největší společný dělitel roven jedné.
| Dělič | Největší společný dělitel |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 4 | 1 |
| 8 | 1 |
Z tabulky je vidět, že dělitele 2 a 8 mají největší společný dělitel rovný jedné. Tyto dělitele jsou tedy vzájemně jednoduché a lze je použít k rozkladu čísla dva.
Metoda třetí: použití euklidova algoritmu
Nejprve vybereme libovolné přirozené číslo a zkontrolujeme, zda je beze zbytku dělitelné dvěma. Pokud ano, našli jsme první faktor dva a absorbujeme jej z původního čísla. Dostáváme nové číslo.
Pak použijeme euklidův algoritmus na nové číslo a číslo dvě. Pokud jsou čísla vzájemně jednoduchá, pak se dělitelné bude rovnat jedné a zbytek druhému násobiteli. V opačném případě opakujeme kroky algoritmu, dokud nezískáme jednotku.
Nakonec najdeme všechny vzájemně prvočísla dvě pomocí euklidova algoritmu. Toto je třetí způsob rozkladu čísla dva na vzájemně prvočísla.
Krok 1: Popis euklidova algoritmu
Pro výpočet NOD dvou čísel používá Euklidův algoritmus následující přístup:
- Větší číslo se dělí na menší číslo a zbytek se zapisuje.
- Vydělte menší číslo výsledným zůstatkem a zbytek se opět zapíše.
- Kroky 1 a 2 se opakují, dokud zůstatek není nulový.
- Když se zbytek stane nulou, NoD se rovná poslednímu nenulovému zbytku.
Například pokud máme čísla 24 A 18:
- 24 ÷ 18 = 1, zbytek 6
- 18 ÷ 6 = 3, zbytek 0
Poslední nenulový zbytek je tedy 6, což je NOD pro čísla 24 a 18.
Euklidův algoritmus se používá při rozkladu čísla na vzájemně prvočísla k identifikaci NOD mezi nimi.