Rovnoramenný trojúhelník - je to trojúhelník, který má dvě strany stejné a třetí strana se od nich liší. Nejzajímavější vlastností takového trojúhelníku je, že střed vepsaného kružnice je na kolmé bissektrice nakreslené z vrcholu rovnoramennosti.
Představme si, že máme trojúhelník se stranami a, b A c. nechte strany a A c mezi sebou rovny: a = c. pokud nakreslíte bissektriku z vrcholu rovnoramennosti (vrcholy, kde se a A c spojují), pak se ukáže, že rozděluje úhel mezi a A C na polovinu. Ať je průsečík bissectris a opačná strana bodem M.
Dokážeme, že střed vepsaného kružnice je na přímce mn (kde N je střed strany a). Podívejme se na trojúhelníky MOS a MNC. Mají dvě strany stejné (OS = NC, protože M je střed strany a) a úhel MOS je roven úhlu MNC (tvoří jeden úhel, protože MO je bissectris úhlu B A úhel M je také úhel rovného mn).
Na základě rovnosti trojúhelníků MOS a MNC jsou tedy rovnocenné i úhly sumců a SNM. Takže kružnice popsaná kolem trojúhelníku MOS prochází také bodem N, tj. střed vepsaného kružnice rovnoramenného trojúhelníku je na přímce, která prochází bodem M a středem strany a.
Nápad a zadání úkolu
V této části se podíváme na myšlenku a řešení problému o prokázání rovnosti vzdáleností od vrcholů rovnoramenného trojúhelníku ke středu vepsaného kružnice.
Předpokládejme, že máme rovnoramenný trojúhelník ABC, ve kterém jsou strany AB A AC stejné. Cílem je dokázat, že vzdálenosti od vrcholů B A C do středu vepsaného kružnice jsou stejné.
K vyřešení tohoto problému použijeme vlastnosti vepsaných úhlů a poloměru kružnice nakresleného v trojúhelníku ABC.
Dále v článku se podíváme na proces dokazování tohoto tvrzení a poskytneme podrobné řešení problému.
Studie rovnoramenných trojúhelníků
Rovnoramenný trojúhelník se nazývá trojúhelník, který má dvě strany stejné. Z této vlastnosti vyplývá mnoho zajímavých vlastností a závislostí, které mohou být použity při jeho zkoumání.
Jedním z těchto rysů je, že u rovnoramenného trojúhelníku jsou bissektrické úhly tvořené stejnými stranami výškami a mediány daného trojúhelníku. To znamená, že jejich průsečík se shoduje se středem vepsaného kružnice daného trojúhelníku.
Střed vepsaného kružnice je průsečíkem všech bissektrických úhlů trojúhelníku. Z této vlastnosti vyplývá, že vzdálenost od středu vepsaného kružnice na kteroukoli stranu trojúhelníku se rovná poloměru tohoto kružnice.
Je také třeba poznamenat, že u rovnoramenného trojúhelníku je medián vedený z vrcholu tvořícího základnu bissektrikou tohoto úhlu a je kolmý na základnu trojúhelníku. Tato vlastnost se nazývá vlastnost kolmosti mediánu a základny rovnoramenného trojúhelníku.
Výzkum rovnoramenných trojúhelníků umožňuje ponořit se hlouběji do zkoumání jejich vlastností a vztahů mezi stranami a úhly a také je použít k řešení různých problémů v geometrii.
| Vlastnosti rovnoramenných trojúhelníků |
|---|
| Obě strany jsou si navzájem rovny |
| Bissektrické rohy jsou výšky a mediány trojúhelníku |
| Kolmost mediánu a základny trojúhelníku |
| Vzdálenost od středu vepsaného kružnice ke straně se rovná poloměru kružnice |
Důkaz existence středu vepsaného kruhu
Pro začátek dokažme, že střed vepsaného kruhu existuje. Podívejme se na rovnoramenný trojúhelník ABC, ve kterém AB = AC. Předpokládejme, že obvod O neprochází všemi třemi vrcholy trojúhelníku ABC.
1. Provedeme bissectris ad trojúhelníku ABC, kde D je průsečík bissectris se základnou BC. Protože trojúhelník ABC je rovnoramenný, pak úhel BAD = úhel CAD.
2. Nakreslíme čáru AO ze středu obvodu O na vrchol a.
3. Vzhledem k tomu, že body A, B, C mohou mít pouze dvě možné polohy (jedna je určena působením obvodu O a druhá náhodným otočením), existuje jediný úhel, ve kterém bod D leží na bissektrice AD.
4. Protože úhel BAD = roh CAD a úhel vás = roh CAO, dostaneme, že úhel BOA = roh COA. Takže úhly BOC a AOB jsou stejné.
5. Protože součet úhlů trojúhelníku je 180°, dostaneme, že úhly AOB a OBC se rovnají polovině úhlu BOC.
6. Z rovnosti úhlů BOC a AOB vyplývá, že úhly OAB a OBA jsou stejné.
Tímto způsobem se provádí následující: úhel AOB = roh BOC / 2 = úhel C / 2. Takže trojúhelník OAB je také rovnoramenný a střed kruhu O existuje.
Porovnání vlastností rovnoramenných trojúhelníků a vepsaných kružnic
Srovnání rovnoramenných trojúhelníků:
1. V rovnoramenném trojúhelníku jsou dvě strany a dva rohy na základně stejné.
2. Strany rovnoramenného trojúhelníku se nazývají rovnocenné boční strany.
3. Základna rovnoramenného trojúhelníku je osou symetrie.
Porovnání vložených obvodů:
1. V zapsaném kružnici leží střed kružnice na kolmé bissektrice úhlu mezi rovnými bočními stranami trojúhelníku.
2. Poloměr vepsané kružnice se rovná polovině rozdílu délek bočních stran trojúhelníku.
3. Bod dotyku vepsaného kružnice se základnou trojúhelníku leží na kolmé bissektrice úhlu mezi rovnými bočními stranami trojúhelníku.
Vlastnosti rovnoramenných trojúhelníků a vepsaných kružnic se tak vzájemně doplňují a umožňují nám získat další znalosti o postavách a jejich vztahu.
Vztah mezi rovnoramenností trojúhelníku a středem vepsaného kružnice
Střed vepsaného kružnice rovnoramenného trojúhelníku je na průsečíku výšky, bissektriky a mediánu trojúhelníku. Tato vlastnost je spojena se zvláštnostmi rovnoramenného trojúhelníku a jeho vepsaného kružnice.
Rovnoramenný trojúhelník je trojúhelník, který má dvě strany stejné. V tomto trojúhelníku jsou úhly při základně také stejné a výška procházející vrcholem úhlu při základně je bissektrikou tohoto úhlu.
Na druhé straně se vepsaný kružnice rovnoramenného trojúhelníku dotýká jeho dvou stejných stran a prochází vrcholem úhlu při základně. Takový kružnice lze nakreslit pouze uvnitř trojúhelníku a jeho střed se shoduje s průsečíkem výšky, bissektriky a mediány.
Střed vepsaného kružnice rovnoramenného trojúhelníku je tedy bodem symetrie trojúhelníku a je důležitý pro jeho vlastnosti a konstrukce. Pochopení vztahu mezi rovnoramenností trojúhelníku a jeho vepsaným obvodem pomáhá při studiu a řešení geometrických problémů spojených s těmito tvary.
Ukázkové příklady a zdůvodnění komunikace
Chcete-li prokázat, že střed vepsaného kružnice rovnoramenného trojúhelníku se shoduje s průsečíkem bissectris, zvažte některé příklady a posuďte toto tvrzení.
Podívejme se na rovnoramenný trojúhelník ABC, ve kterém AB=AC. Nechť je bod o středem vepsaného kružnice daného trojúhelníku. Také nechte body I A Ia jsou centry vepsaných kružnic trojúhelníků ABC a AOB.
Pro důkaz spojení mezi středem vepsaného kružnice a průsečíkem bissectris stačí ukázat, že body O, B a I leží na jedné přímce.
Podívejme se na trojúhelník ABC. Protože AB=AC, úhly B A C jsou stejné. Nechť se bissektriky těchto úhlů protínají v bodě I.ve větě o bissectrisu z učebního kurzu geometrie je známo, že bod I rozděluje stranu BC na segmenty BD a CD, přičemž poměr jejich délek se rovná poměru délek sousedních stran trojúhelníku ABC: BD/DC = AB/AC = 1/1 = 1.
Podívejme se na trojúhelník AIB. Podle stejné věty o bissectrisu lze říci, že bod Ia rozděluje stranu AB na úsečky AI a IB, přičemž AI/IB = AB/BI = 1/1 = 1.
Podívejme se na trojúhelník AIC. Protože AI a BI jsou poloměry vepsaných kružnic, jsou stejně dlouhé: AI=BI. Také úhly A A C jsou stejné, protože trojúhelník ABC je rovnoramenný. Z toho vyplývá, že trojúhelníky AIC a BIC jsou rovnoramenné.
Tímto způsobem získáme rovnoramenný trojúhelník BIC, ve kterém jsou BI=IC a úhly B A C stejné. Podle definice rovnoramenného trojúhelníku by střed vepsaného kružnice měl spočívat na bissektrice úhlu BIC, což je přímka BI. Body O, B a I proto leží na jedné přímce.
Ukázali jsme tedy, že střed vepsaného kružnice rovnoramenného trojúhelníku se shoduje s průsečíkem bissectris trojúhelníku.
Definice a vlastnosti středu vepsaného kružnice
Vlastnosti středu vepsaného kruhu:
| 1. | Střed vepsaného kružnice leží na průsečíku bissectris trojúhelníku. |
| 2. | Vzdálenost od středu vepsaného kružnice k libovolné straně trojúhelníku se rovná poloměru kružnice. |
| 3. | Kružnice popsaná kolem trojúhelníku prochází středem vepsaného kružnice. |
| 4. | Střed vepsaného kružnice je středem vepsaného kružnice pro každý z trojúhelníků tvořených stranou a dvěma bissektriky. |
Střed vepsaného kružnice hraje důležitou roli v geometrii a používá se k řešení různých problémů souvisejících s trojúhelníky, včetně rovnoramenných.
Geometrický popis středu vepsaného kružnice rovnoramenného trojúhelníku
Střed vepsaného kružnice rovnoramenného trojúhelníku lze definovat následovně:
- Nakreslete bissektriku úhlu mezi rovnými stranami trojúhelníku.
- Na každé ze stejných stran trojúhelníku najděte průsečíky bisektriky s touto stranou. Označíme tyto body jako A A B (A na jedné straně, B na druhé).
- Najděte střed úsečky AB a označte ji jako střed kruhu.
Střed vepsaného kružnice rovnoramenného trojúhelníku je tedy bod, ve kterém se protínají bissectris úhlu a středová kolmice k základně trojúhelníku.
Všimněte si, že střed vepsaného kružnice rovnoramenného trojúhelníku vždy leží na průsečíku bissectris a výšek trojúhelníku.
Důkaz rovnoramennosti a existence středu vepsaného kružnice
Předpokládejme, že trojúhelník ABC není rovnoramenný. Trojúhelník by pak měl být buď všestranný, nebo všestranný s degenerovaným úhlem (jeden z vrcholů je pravý úhel).
Případ 1: Všestranný trojúhelník
Pokud je trojúhelník ABC všestranný, všechny jeho strany a úhly budou různé. Vzhledem k tomu, že bod I je středem vepsaného kružnice, lze od ní ke každé ze stran trojúhelníku AB, BC a CA nakreslit kolmice, které se navzájem rovnají.
Protože je však trojúhelník ABC všestranný, délky stran AB, BC a CA budou různé. To znamená, že výšky sestoupené z bodu I na tyto strany budou mít také různé délky.
Případ 2: Všestranný trojúhelník s degenerovaným úhlem
Zvažte případ, kdy je trojúhelník ABC všestranný s degenerovaným úhlem. Ať je B pravý úhel, pak budou rohy CAB a CBA ostré.
Vzhledem k tomu, že trojúhelník je všestranný, předpokládáme, že strana AB bude větší než strany BC a CA. V důsledku toho bude výška sestoupená z bodu I na stranu AB větší než výšky sestoupené z bodu I na strany BC a CA.
V obou případech jsme tedy dospěli k rozporu, což znamená, že náš předpoklad je nesprávný a trojúhelník ABC by měl být rovnoramenný.
Pro rovnoramenný trojúhelník důkaz existence středu i vepsaného kružnice nepředstavuje složitost. V rovnoramenném trojúhelníku jsou všechny výšky nakreslené do jeho základny mediany a bissectrys a úhel tvořený dvěma výškami bude ostrý.
Tímto způsobem jsme dokázali, že střed vepsaného kružnice existuje a odpovídá průsečíku bissectris a medián trojúhelníku ABC.