Pro začátek si připomeňme základní vlastnosti lichých čísel. Lichá čísla lze představit jako násobení 2 a sčítání s 1. To znamená, že jakékoli liché číslo lze zapsat jako 2n + 1, kde n je celé číslo.
Nyní předpokládejme, že máme liché číslo a. Chceme dokázat, že jeho čtverec je liché číslo. K tomu musíme zapsat čtverec tohoto čísla a ujistit se, že má také vzhled 2K + 1, kde K je celé číslo.
Postavme naše liché číslo a na čtverec a uvidíme, jak to dopadne:
a^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2 + 2n) + 1
Jak vidíme, čtverec lichého čísla a lze představit jako 2K + 1, Kde k = 2n^2 + 2n je celé číslo. Tímto způsobem jsme dokázali, že čtverec lichého čísla je vždy liché číslo.
Čtverec lichého čísla je liché číslo
- Nechť je dáno liché číslo n.
- Toto číslo lze zapsat do tvaru n = 2k + 1, kde k - celé číslo.
- Postavíme toto číslo na čtverec: n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1.
- Zjednodušte rovnici: n 2 = 2(2k 2 + 2k) + 1.
Všimněme si, že druhý slogan 2(2k 2 + 2k) je sudé číslo, protože vynásobení libovolného čísla číslem 2 dává sudé číslo. Navíc číslo 1 na konci je liché číslo.
Vidíme tedy, že čtverec lichého čísla je součtem sudého a lichého čísla, což znamená lichost konečného čísla. Proto jsme dokázali, že čtverec lichého čísla je vždy liché číslo.
Důkaz této tvrdosti
Protože n lichý, lze jej představit ve formě n = 2k + 1, kde k - celé číslo.
Postavit n na druhou:
n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1
Vidíme, že v rozkladu čtverce je liché číslo n přítomno 1. Sčítanec 4k^2 a 4k jsou sudá čísla, protože obsahují faktor 4.
Součet sudých čísel a 1 bude vždy liché číslo, protože sudá čísla mohou být reprezentována jako zdvojnásobení sudého čísla. Například, 2a bude to sudé číslo a 2a + 1 bude to liché číslo.
Proto čtverec lichého čísla n roven 4k^2 + 4k + 1, což je součet sudých čísel a 1, a proto je liché číslo.
Je tedy prokázáno, že čtverec jakéhokoli lichého čísla je vždy liché číslo.
Lichý počet druhů 2n+1
Nechť a = 2n + 1. A^2 = (2n+1)^2 = 4n^2+4n+1.
Vyjádřeme a^2 ve formě (2n+1)(2n+1): a^2 = (2n+1)(2n+1) = 4n^2+2n+2n+1 = 4n^2+4n+1.
Všimněte si, že 4N^2 a 4n jsou sudá čísla, protože se dělí na 2 beze zbytku.
Dostaneme tedy, že a^2 = 4n^2+4n+1 je součtem dvou sudých čísel a 1. Je známo, že součet sudého čísla a 1 je liché číslo.
Čtverec lichého čísla druhu 2n + 1 je tedy vždy liché číslo, což bylo nutné prokázat.
Výraz pro čtverec lichého čísla
Chcete-li získat čtverec čísla n, vynásobíme obě části rovnosti samotným číslem n:
| Výraz | Výsledek |
|---|---|
| n * n | (2k + 1) * (2k + 1) |
| 4k^2 + 2k + 2k + 1 | |
| 4k^2 + 4k + 1 |
Každý z členů si může všimnout, že 4k^2 + 4k + 1 je sudý kromě posledního člena 1, který je lichý. Proto bude čtverec lichého čísla vždy lichý.
Rozdělení výrazu na multiplikátory
Chcete-li rozdělit výraz na faktory, musíte provést faktorizaci, to znamená, že najít takové faktory, které vynásobením jiné kombinace faktorů poskytnou původní výraz. Faktorizace je založena na rozkladu čísel na prvočísla.
Pro začátek je třeba analyzovat výraz a zvýraznit jeho celkový multiplikátor. Poté pomocí metody seskupování vyniknou kombinace faktorů, které mohou být namalovány stejnou barvou a vyneseny za závorky.
12x + 18y = 6(2x + 3y)Po přidělení společného násobitele můžeme začít rozkládat každý závorkový výraz na jednoduché faktory. K tomu lze použít různé metody, jako je metoda seskupování, metoda rozdílu čtverců, metoda čtvercového trojčlenu a další.
Výsledný rozklad umožňuje další analýzu výrazu, určení jeho charakteristik a použití výsledného vzorce pro zjednodušení a řešení matematických problémů.
Vlastnost lichých čísel při násobení
Pak by vztažení tohoto čísla na druhou stranu mělo následující vzhled: n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1.
Pro zjednodušení výrazu zvýrazněte společný faktor 2: n 2 = 2(2k 2 + 2k) + 1.
Tímto způsobem jsme získali výraz druhu 2m + 1, kde m = 2k 2 + 2k - celé číslo.
Všimněte si výrazu 2m + 1 je to liché číslo, protože má lichý slogan 1.
Tímto způsobem jsme dokázali, že čtverec lichého čísla je vždy liché číslo na základě celkového vzorce n = 2k + 1.