Dokažte, že každá souřadnice součtu je rozdíl dvou

Nejprve definujme, co je součet rozdílu dvou čísel. Pokud máme dvě čísla - "a" A "b", pak lze rozdíl mezi nimi vyjádřit jako "A - b". Součet rozdílu dvou čísel se bude rovnat součtu všech souřadnic rozdílu čísel. Pokud máme dvě čísla se souřadnicemi (x1, y1) a (x2, y2), pak bude součet rozdílu těchto čísel roven (x1 - x2, y1 - y2).

Nyní přejděme k prokázání každé souřadnice součtu rozdílu dvou. Ať máme dvě čísla se souřadnicemi (a, b) A (c, d). Odečteme souřadnice druhého čísla od souřadnic prvního čísla a dostaneme (a - c, b - d).

Každá souřadnice součtu rozdílu dvou čísel by se tedy rovnala rozdílu příslušných souřadnic těchto čísel. To dokazuje, že každá souřadnice součtu rozdílu dvou čísel je určena výhradně souřadnicovými rozdíly těchto čísel.

Důkaz každé souřadnice součtu rozdílu dvou

Předpokládejme, že máme dva vektory a A b dané svými souřadnicemi:

Abychom dokázali, že každá souřadnice součtu rozdílu dvou vektorů se rovná rozdílu příslušných souřadnic, můžeme využít vlastnost sčítání a odčítání vektorů.

Součet rozdílu dvou vektorů a A b je následující:

Součet rozdílu vektorů je nový vektor, u kterého se každá souřadnice rovná rozdílu příslušných souřadnic původních vektorů.

Je tedy prokázáno, že každá souřadnice součtu rozdílu dvou vektorů se rovná rozdílu příslušných souřadnic. Tato vlastnost nám pomůže při řešení mnoha problémů souvisejících s vektory a jejich operacemi.

Důkaz první souřadnice

Dokažme, že první souřadnice součtu rozdílu dvou vektorů se rovná součtu rozdílů jejich prvních souřadnic.

Ať máme dva vektory:

Pak bude rozdíl těchto vektorů:

A součet rozdílů jejich prvních souřadnic:

Chcete-li prokázat, že se rovná první souřadnici součtu rozdílu vektorů, musíte prokázat, že:

K tomu můžeme použít vlastnost operace odčítání a vlastnost operace sčítání:

Z tohoto vyplývá:

Tímto způsobem jsme dokázali, že první souřadnice součtu rozdílu dvou vektorů se rovná součtu rozdílů jejich prvních souřadnic.

Důkaz druhé souřadnice

S = C₁ + C₂ = (a₁ - b₁) + (a₂ - b₂). Musíme dokázat, že S se rovná celému druhému prvku souřadnicového rozdílu C, tedy S = C₂ = a₂ - b₂.

Rozložíme S = (a₁ - b₁) + (a₂ - b₂ 2) součet dvou:

Protože a₁ a a a₂, b₁ a b₂ - jsou to komponenty vektorů A A B, podle toho můžeme zaznamenat:

Nyní pomocí definice rozdílu vektorů můžeme zaznamenat:

Tímto způsobem jsme dokázali, že prostřednictvím rozdílu vektorů A A B můžeme vyjádřit druhou souřadnici součtu rozdílu vektorů C.