Délka oblouku - jeden ze základních parametrů obvodu, který může být užitečný v mnoha oblastech vědy a inženýrství. Když je známa pouze vzdálenost mezi dvěma body na kružnici, nazývaná chorda, vyvstává otázka, jak najít délku samotného oblouku. Tato otázka je vždy relevantní při řešení geometrických úkolů a může být také užitečná při navrhování, konstrukci a výrobě výrobků s kulatými tvary.
Chcete-li vypočítat délku oblouku, musíte znát délku chordů a poloměr kružnice. Chcete-li začít, můžete použít Pythagorovu větu k nalezení délky polokoule a poté tuto hodnotu zdvojnásobit, abyste získali délku chordů. Poté pomocí vzorce, který vyvinul starověký řecký matematik Archimedes, lze najít délku oblouku, pokud jsou známy délky chordů a poloměru.
Představte si, že máte kružnici s poloměrem 5 jednotek a chordou o délce 8 jednotek. Chcete-li najít délku oblouku, Spočítejte délku polokoule pomocí Pythagorovy věty:
Polokoule = √(poloměr^2- (Délka chordů / 2)^2)
Poluchorda = √(5^2 - (8 / 2)^2)
Polochorda = √(25 - 16)
Polochord = 3 jednotky
Nyní, abyste našli délku chordů, zdvojnásobte délku polokoule:
Délka chordů = 2 * Polokordy
Délka chordů = 2 * 3
Délka struny = 6 jednotek
A nakonec, abyste našli délku oblouku, použijte Archimédův vzorec:
Délka oblouku = délka hordy * (úhel v radiánech / 2)
Nechť je úhel v tomto případě 90 stupňů, což je π / 2 radiánů.
Délka oblouku = 6 * (π / 2 / 2)
Délka oblouku = 6 * (3.14/2 / 2)
Délka oblouku = 6 * (1.57 / 2)
Délka oblouku = 6 * 0.785
Délka oblouku ≈ 4.71 jednotky
Délka oblouku kružnice s poloměrem 5 jednotek a 8 jednotek dlouhým chordem se tedy rovná asi 4.71 jednotkám.
Určení délky oblouku
Délka oblouku je měřítkem délky obvodu obvodu, který je popsán při pohybu bodu podél tohoto oblouku. Chcete-li určit délku oblouku, musíte znát hodnotu hordy oblouku a jeho Úhlové míry.
| Kroky výpočtu délky oblouku: |
|---|
| 1. Najděte hodnotu Úhlové míry oblouku v radiánech nebo stupních. |
| 2. Použijte vzorec: délka oblouku = (úhlová míra oblouku * poloměr) pokud je hodnota Úhlové míry dána v radiánech, nebo délka oblouku = ((úhlová míra oblouku * poloměr * π) / 180), pokud je hodnota Úhlové míry dána ve stupních. |
Řekněme, že máme obvod s poloměrem 5 jednotek a úhlová míra oblouku je 45 stupňů.
Vzorec pro výpočet délky oblouku by pak vypadal následovně:
délka oblouku = ((45 * 5 * π) / 180)
Nastavením hodnoty π (~3.14) získáme:
délka oblouku = ((45 * 5 * 3.14) / 180)
Výsledek výpočtu bude představovat délku oblouku. V tomto případě to bude:
délka oblouku je 4.96 jednotek.
Vzorec pro výpočet délky oblouku
Délku oblouku části obvodu lze vypočítat pomocí vzorce pro délku oblouku:
| Znak | Označení |
|---|---|
| l | délka oblouku |
| r | poloměr kružnice |
| α | centrální roh v radiánech |
Vzorec pro výpočet délky oblouku je následující:
Kde r je poloměr kružnice a α je centrální úhel v radiánech, který určuje podíl celého kruhu pro výpočet délky oblouku.
Příkladem použití vzorce může být následující situace:
Kružnice s poloměrem r = 5 cm a středovým úhlem α = 1 radián. Délka oblouku l:
l = r * α = 5 cm * 1 = 5 cm
Délka oblouku je tedy v tomto případě 5 centimetrů.
Příklady výpočtu délky oblouku
Zde je několik příkladů, které vám pomohou pochopit výpočet délky oblouku:
- Příklad 1:
- Dano: AB Jorda = 10 cm a R poloměr kruhu = 5 cm.
- Výpočet: nejprve najdeme úhel α pomocí vzorce:
- α = 2 * arcsin(AB / (2 * r))
- Nastavíme hodnoty: α = 2 * arcsin(10 / (2 * 5)) ≈ 2 * arcsin (1) ≈ 2 * (π/2) = π radián.
- Nyní k nalezení délky oblouku používáme vzorec:
- l = r * α
- Nastavíme hodnoty: l = 5 * π je 5 * 3.14 je 15.7 cm.
- Odpověď: délka oblouku je přibližně 15.7 cm.
- Příklad 2:
- Dano: CD deska = 8 cm a obvodový poloměr r = 6 cm.
- Výpočet: nejprve najdeme úhel α pomocí vzorce:
- α = 2 * arcsin(CD / (2 * r))
- Nastavíme hodnoty: α = 2 * arcsin(8 / (2 * 6)) ≈ 2 * arcsin(0.667) ≈ 2 * (0.702) ≈ 1.404 Radian.
- Pak použijeme vzorec k nalezení délky oblouku:
- l = r * α
- Nastavíme hodnoty: l = 6 * 1.404-8.424 cm.
- Odpověď: délka oblouku je přibližně 8.424 cm.
- Příklad 3:
- Dano: Jorda EF = 12 cm a poloměr kružnice r = 10 cm.
- Výpočet: nejprve najdeme úhel α pomocí vzorce:
- α = 2 * arcsin(EF / (2 * r))
- Nastavíme hodnoty: α = 2 * arcsin(12 / (2 * 10)) ≈ 2 * arcsin(0.6) ≈ 2 * (0.643) ≈ 1.286 Radian.
- Pak použijeme vzorec k nalezení délky oblouku:
- l = r * α
- Nastavíme hodnoty: l = 10 * 1.286-12.86 cm.
- Odpověď: délka oblouku je přibližně 12.86 cm.
To je jen několik příkladů výpočtu délky oblouku. Doufáme, že vám pomohli lépe porozumět procesu a aplikaci vzorce.
Délka oblouku v závislosti na poloměru kružnice
Délka oblouku kružnice závisí na poloměru tohoto kružnice. Pro výpočet délky oblouku je nutné znát velikost poloměru a úhel, pod kterým tento oblouk otevírá středový úhel.
Délku oblouku lze vypočítat podle vzorce:
L = r * α
- L - délka oblouku;
- r - poloměr kružnice;
- α - centrální úhel měřený v radiánech.
Pokud jsou tedy známy hodnoty poloměru a centrálního úhlu, lze pomocí daného vzorce vypočítat délku oblouku kružnice. Například pro obvod s poloměrem 5 a středovým úhlem 60 stupňů:
L = 5 * (60 * π / 180) ≈ 5 * 1.05 ≈ 5.25
Délka oblouku obvodu tak bude přibližně 5,25 jednotky délky.