Pravoúhlé trojúhelníky patří mezi nejběžnější a studované geometrické tvary. Mají mnoho zajímavých vlastností a jednou z nich je možnost najít délku katetu, pokud je známa přepona a úhel.
Pro výpočet délky katetu v pravoúhlém trojúhelníku je nutné znát délku přepony a velikost úhlu uzavřeného mezi přeponou a jedním z katetů. Velikost úhlu se obvykle udává ve stupních.
K vyřešení tohoto problému je nutné použít trigonometrické funkce, jako je sinus a kosinus. Pokud jsou známy sinus nebo kosinus úhlu a délka přepony, lze najít délku katetu. Pomocí vzorce sin(α) = protilehlý katetr / přepona nebo cos (α) = předmětový katetr / přepona, lze vyjádřit délku katetu prostřednictvím známých hodnot.
Katetr pravoúhlého trojúhelníku: jak ho najít?
Pokud je známa přepona a jeden katetr, lze najít druhý katetr. K tomu je třeba použít Pythagorovu větu. Vzorec je následující:
a - druhý katetr;
b je známý katetr.
Chcete-li najít katetr, musíte extrahovat kořen z rozdílu čtverců přepony a známého katetu.
Je známo, že přepona je 10 a jeden z katetů je 6. Najdeme druhý katetr:
a² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64
Druhý katetr je tedy 8.
Pokud je u této přepony známa přepona a úhel, lze pomocí trigonometrických funkcí najít katetr.
Pokud je úhel přepony pravý úhel (90°), katétr je nulový.
Pokud je úhel přepony ostrý úhel,můžete použít úhel tangens. Vzorec je následující:
α-úhel při přeponě.
Je známo, že přepona je 5 a úhel přepony je 30°. Najdeme katetr:
a = 5 * tg(30°) ≈ 2.89
Katetr je tedy přibližně 2.89.
Teorie pravoúhlého trojúhelníku
Pokud je známa přepona a jeden z úhlů, lze délku katetu najít pomocí trigonometrických funkcí.
Řekněme, že úhel mezi přeponou a jedním z katetů se nazývá 𝛼. Tehdy:
| Goniometrická funkce | Formule |
|---|---|
| Sinus 𝛼 | sin (𝛼) = délka katetu / délka přepony |
| Kosinus 𝛼 | cos (𝛼) = délka jiného katetu / délka přepony |
| Tangens 𝛼 | tan (𝛼) = délka katetu / délka jiného katetu |
Pomocí těchto vzorců lze najít délku katetu, znát délku přepony a hodnotu úhlu 𝛼.
Známá přepona
Pokud znáte přeponu pravoúhlého trojúhelníku, můžete najít hodnoty katetů pomocí trigonometrických funkcí.
Chcete-li najít katety, použijte následující vzorce:
1. Katet: a = přepona * sin (úhel)
Tento vzorec umožňuje najít délku jednoho katetu, pokud je známa přepona a hodnota sinusu úhlu, který tomuto katetu odporuje.
2. Katet: B = přepona * cos (úhel)
Pomocí tohoto vzorce lze najít délku jiného katetu, pokud je známa přepona a hodnota kosinu úhlu, který má tento katetr.
Máte tedy dva způsoby, jak najít délky katetů, pokud je známa přepona a hodnota odpovídající trigonometrické hodnoty. Nezapomeňte vzít v úvahu jednotky měření a v případě potřeby zaokrouhlit odpověď.
Známý úhel
Pokud je v pravoúhlém trojúhelníku známa přepona a hodnota jednoho z úhlů, lze k určení katetu použít trigonometrické Poměry.
K tomu je třeba použít funkci sinusu nebo kosinu:
- Pokud jsou známy přepony c a úhel α, katetr lze nalézt pomocí vzorce: a = c * sin(α).
- Pokud jsou známy přepony c a úhel β, katetr lze nalézt pomocí vzorce: b = c * cos(β).
Při znalosti hodnoty úhlu a přepony lze snadno najít délku katetu a vyřešit problémy spojené s pravoúhlým trojúhelníkem.
Výpočet katetu přes přeponu a úhel
Pokud znáte přeponu a jeden z rohů pravoúhlého trojúhelníku, můžete snadno najít hodnotu jednoho z katetů. K tomu se používá trigonometrická funkce sinusu (sin).
Vzorec pro výpočet katetu přes přeponu a úhel je následující:
strana = přepona * sin (úhel)
- strana - význam hledaného katetu;
- přepona - délka známé přepony;
- roh - hodnota známého úhlu měřeného v radiánech nebo stupních (v závislosti na funkci, kterou používáte).
Pokud je například přepona 5 a je znám úhel 30 stupňů, lze katetr vypočítat podle následujícího vzorce:
strana = 5 * sin (30)
Hodnota katetu je tedy za daných podmínek přibližně 2,5.
Pomocí tohoto vzorce můžete snadno najít hodnoty katetů jakéhokoli pravoúhlého trojúhelníku se známou přeponou a úhlem.
Výpočet katetu přes přeponu a úhel tangens
Chcete-li najít katetr pravoúhlého trojúhelníku přes přeponu a úhel tangens, postupujte podle jednoduchých matematických vzorců.
Nechť je dán pravoúhlý trojúhelník s přeponou c a úhlem α.
Tangens úhlu α se rovná poměru protilehlého katetu a k předmětu katetu b:
Pomocí vlastností tangens lze vyjádřit a přes b:
Když známe délku přepony c a úhel α, můžeme najít správný katetr:
Takže k nalezení katetu přes přeponu a tangens úhlu:
- Najděte TG(α) podle vzorce TG (α) = a / b.
- Určete délku katetu b podle vzorce b = C / √(1 + TG2 (α)).
- Vypočítejte hodnotu katetu a vynásobením b tg(α): a = b * TG (α).
Nyní víte, jak najít katetr pravoúhlého trojúhelníku pomocí přepony a tangens úhlu.
Výpočet katetu přes přeponu a sinus úhlu
Chcete-li najít katetr pravoúhlého trojúhelníku, pokud je známa přepona a úhel, můžete použít sinus tohoto úhlu.
Sinus úhlu je definován vztahem opačného katetu k přeponě:
sin (úhel) = protilehlý katetr / přepona
Pro výpočet katetu lze tedy použít následující vzorec:
protilehlý katetr = sin ( úhel) * přepona
Chcete-li použít tento vzorec, musíte znát hodnotu sinusu úhlu. To lze nalézt v tabulkách trigonometrických funkcí nebo pomocí kalkulačky, která podporuje trigonometrické výpočty.
Po nalezení hodnoty sinusu úhlu a známé délky přepony lze tyto hodnoty vložit do vzorce a vypočítat délku protilehlého katetu.
Díky znalosti přepony a sinusu úhlu lze tedy vypočítat katetr pravoúhlého trojúhelníku.
Příklady výpočtů
Pro názornost si představíme několik příkladů výpočtu katetu pravoúhlého trojúhelníku, kdy je známa přepona a úhel:
- Příklad 1: Dáno:
- Přepona: 10 jednotek
- Úhel přepony: 30 stupňů
Pro výpočet katetu pravoúhlého trojúhelníku podle vzorce sin (úhel) = protilehlý katetr / přepona:
sin (30) = katet / 10;
katetr = 10 * sin(30) je 5 jednotek.
Odpověď: trojúhelníkový katetr je přibližně 5 jednotek.
- Přepona: 8 jednotek
- Úhel přepony: 45 stupňů
sin (45) = katet / 8;
katet = 8 * sin(45) ≈ 5.66 jednotek.
Odpověď: trojúhelníkový katetr je přibližně 5.66 jednotek.
Na základě uvedených příkladů lze pochopit, že se známou přeponou a úhlem lze snadno vypočítat délku pravoúhlého trojúhelníku.