Zvažte funkci druhu y=x^2-4x+7 kde je proměnná x vlastní interval [1,5]. Chcete-li najít oblast hodnot této funkce, musíte najít všechny možné hodnoty y při daných hodnotách x. K tomu vložíme okrajové hodnoty intervalu do funkce a najdeme odpovídající hodnoty y.
Pro x=1: y=(1)^2-4(1)+7=1-4+7=4. Proto, při x=1 význam funkce y rovná se 4. Při x=5: y=(5)^2-4(5)+7=25-20+7=12. Takže, při x=5 význam funkce y rovná se 12.
Oblast hodnot funkce y=x^2-4x+7, kde x vlastní interval [1,5], tvoří mnoho všech významů y, které lze získat při substituci možných hodnot x. V tomto případě je rozsah hodnot funkce interval [4,12].
Minimální hodnota funkce
Pro nalezení minimální hodnoty funkce y = x^2-4x + 7 v intervalu [1,5] je třeba najít bod extrémů. K tomu lze použít metody diferenciálního počtu.
Pro výpočet odvozené funkce y = x^2-4x + 7 je třeba použít pravidlo diferenciace stupňovité funkce a konstanty a poté ji přirovnat k nule:
y'=2x-4=0
Z této rovnice dostaneme:
2x=4
x=2
Bod extrému funkce je tedy v bodě x=2.
K určení povahy tohoto bodu (minimum nebo maximum) lze použít druhou derivaci:
y''=2
Protože hodnota druhé derivace je kladná, bod x=2 je minimem funkce y = x^2-4x + 7.
Hodnotu funkce v tomto bodě lze nalézt vložením x=2 do původní funkce:
y=(2)^2-4*2+7=-1
Minimální hodnota funkce y = x^2-4x + 7 v intervalu [1,5] rovný -1.
Maximální hodnota funkce
Pro stanovení maximální hodnoty funkce y = x^2-4x + 7 v intervalu [1,5], je třeba najít bod, kde je derivace funkce nulová.
Najdeme odvozenou funkci: y ' = 2x-4
Pak vyrovnáme derivát na nulu a vyřešíme rovnici: 2x-4 = 0
Vložíme nalezenou hodnotu x=2 do původní funkce: y = 2^2 - 4*2 + 7 = 3
Tedy v intervalu [1,5] maximální hodnota funkce y = x^2-4x+7 se rovná 3.
Závislost hodnoty funkce na x
Funkce y = x^2-4x + 7 má oblast hodnot definovanou v intervalu [1,5]. To znamená, že hodnoty funkce y závisí na hodnotě proměnné x v uvedeném intervalu. Vložením různých hodnot x do dané funkce lze získat odpovídající hodnoty y.
V intervalu [1,5] funkce přijímá různé hodnoty v závislosti na hodnotě x. v tomto intervalu má funkce rostoucí charakter, protože koeficient na druhou X je 1, což zaručuje kladnou hodnotu funkce při zvětšení x.
Změna hodnoty proměnné X v intervalu [1,5] ovlivňuje změnu hodnoty funkce y = x^2-4x + 7. Tuto závislost si lze názorně představit pomocí grafu funkce.
Interval hodnot funkce
Interval hodnot funkce y = x^2-4x + 7 v daném intervalu [1,5] lze určit nalezením minimálních a maximálních hodnot funkce v daném intervalu.
Za tímto účelem zvažte proces hledání extrému funkce. Najdeme první odvozenou funkci y=x^2-4x + 7:
Dále porovnáme derivát k nule a vyřešíme rovnici:
Výsledná hodnota x=2 je bodem extrému funkce v intervalu [1,5]. Chcete-li určit hodnotu funkce v tomto bodě, vložte hodnotu x do původní funkce:
y = (2)^2 - 4(2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3
Tedy v intervalu [1,5] funkce y = x^2-4x+7 bere minimální hodnotu 3 v bodě (2,3).