Kružnice je geometrické těleso, které se skládá ze všech bodů, které se rovnají jednomu středovému bodu. Poloměr kružnice je segment, který spojuje střed kružnice s jejím libovolným bodem. Kružnice je segment, který spojuje dva body na kružnici. V tomto článku rozebereme, jak najít chord kruhu s daným poloměrem a úhlem 120 stupňů.
K vyřešení tohoto problému budeme potřebovat základní vzorce a vlastnosti obvodu. Poloměr kružnice, daný podmínkou, již známe a označený jako R.úhel rovný 120 stupňům je také známý a označený jako α. Abychom našli hordu, budeme potřebovat následující vzorce:
- Délka chordů (L) se vypočítá podle vzorce: L = 2 * R * sin(α/2).
- Vzdálenost od středu kruhu k hordu (h) se vypočítá podle vzorce: h = R * cos(α/2).
Pomocí těchto vzorců můžeme najít délku chordů a vzdálenost od středu kruhu k chordě, pokud jsou známy poloměr a úhel. Nyní jsme připraveni řešit problémy související s hledáním kružnicových chordů s danými parametry.
Jak najít kružnici
K nalezení délky hordy můžeme použít větu o střední linii trojúhelníku. Pokud známe poloměr kružnice a úhel, pod kterým je chord, můžeme najít délku chordů podle vzorce:
d = 2 * r * sin(a/2)
kde d je délka chordů, r je poloměr kružnice, a je úhel, pod kterým je hornina (v radiánech).
K nalezení polohy hordy na kružnici budeme potřebovat souřadnice jejích koncových bodů. To lze provést pomocí trigonometrických funkcí sinus a kosinus. Pokud známe poloměr kružnice, úhel, pod kterým je hornina, a souřadnice středu kružnice, můžeme najít souřadnice konečných bodů hordy podle vzorců:
| Souřadnice x | Souřadnice y |
|---|---|
| x = cx + r * cos(a/2) | y = cy + r * sin(a/2) |
| x = cx + r * cos(-a/2) | y = cy + r * sin(-a/2) |
kde CX a cy jsou souřadnice středu kružnice.
Pomocí těchto vzorců a údajů o obvodu kružnice a úhlu hordy lze nalézt jak délku chordů, tak její polohu vzhledem ke středu kružnice.
Metoda 1: pomocí poloměru a úhlu
Pro začátek najdeme úsek, který spojuje dva konce hordy. Tento úsek je kolmý na Horde a prochází středem obvodu. Podle věty tvoří dva hordy protínající se v jednom bodě stejné geometrické tvary s podobnými trojúhelníky uvnitř sebe.
Dále najdeme poloměr kružnice pomocí vzorce:
Poloměr kružnice = délka chordů / (2 * sin (úhel chordů / 2))
Nastavíme hodnoty: délka chordů je rovna poloměru kružnice (podle podmínky), úhel chordů je 120 stupňů.
Když vyřešíme rovnici, najdeme poloměr kružnice. Při znalosti poloměru lze najít délku úsečky spojující dva konce hordy, kterou označíme jako"a".
Nyní k nalezení délky chordů můžete použít Pythagorovu větu:
a = 2 * sqrt (r^2 - (r * cos (úhel hordy / 2))^2).
Při výpočtu podle tohoto vzorce lze najít délku chordů, což je požadovaná velikost.
Metoda 2: Vynásobením poloměru sinusem úhlu
Pro začátek je nutné znát délku poloměru kružnice. Poloměr je vzdálenost od středu kružnice k jakémukoli bodu její hranice.
Dále je třeba znát hodnotu sinusu úhlu 120 stupňů. Sinus úhlu je poměr strany protilehlé tomuto úhlu k přeponě pravoúhlého trojúhelníku tvořeného touto stranou a poloměrem.
A nakonec je nutné vynásobit hodnotu poloměru hodnotou sinusu 120 stupňů. Tímto způsobem získáme délku chordů kružnice.
Takže použitím metody 2 můžeme zjistit délku chordů kružnice s daným poloměrem a úhlem 120 stupňů vynásobením poloměru sinusem daného úhlu.
Metoda 3: Pomocí trigonometrické funkce
Označme poloměr kružnice jako R A úhel, který definuje chord jako α.
Pomocí trigonometrických funkcí můžeme vyjádřit souřadnice bodů hordy vzhledem ke středu kružnice (0, 0):
| Bod | Souřadnice (x, y) |
|---|---|
| A | (R * cos(α/2), R * sin(α/2)) |
| Do | (R * cos(α/2), -R * sin(α/2)) |
Nyní máme souřadnice hordových bodů. Můžeme je použít k vytvoření čáry představující chord kruhu.
Je důležité poznamenat, že tato metoda předpokládá, že střed kružnice je na začátku souřadnic (0, 0).