Derivace je jedním ze základních pojmů matematické analýzy. Nalezení odvozené funkce pomáhá při určování její rychlosti změny. V tomto článku se podíváme na proces nalezení odvozeného díla tří faktorů.
Než začnete, je důležité porozumět základním pravidlům diferenciace. Pokud jste již obeznámeni s těmito pravidly, pak bude proces nalezení odvozeného součinu tří faktorů mnohem jednodušší.
Prvním krokem při hledání odvozeného díla tří faktorů je použití pravidla odvozeného díla. Toto pravidlo zní: odvozený součin dvou funkcí se rovná součinu derivátů těchto funkcí plus součinu samotných funkcí. V souladu s tím, abychom našli odvozený součin tří faktorů, musíme toto pravidlo použít dvakrát.
Pomocí tohoto pravidla můžeme s větší přesností najít derivaci děl tří faktorů. Postupujte podle těchto kroků a získáte: 1) Vezměte derivát prvního multiplikátoru, vynásobte druhým a třetím faktorem; 2) Vezměte derivát druhého multiplikátoru, vynásobte prvním a třetím faktorem; 3) Vezměte derivát třetího násobitele, vynásobte prvním a druhým faktorem; 4) sečtěte výsledky těchto tří výrazů. Tímto způsobem najdete odvozený součin tří faktorů.
Základní pojmy a definice
Derivát funkce se nazývá hodnota limitu, ke kterému se normovaný přírůstek funkce zavazuje, když usiluje o přírůstek argumentu k nule. Umožňuje odhadnout rychlost změny funkce v každém bodě její definiční oblasti.
Součin tří faktorů se nazývá výsledek násobení tří dat čísel. V matematice existuje také koncept odvozeného součinu funkcí, kde každá funkce je jedním z faktorů součinu.
K nalezení odvozeného součinu tří faktorů lze použít pravidlo diferenciace díla. Podle tohoto pravidla se odvozený součin funkcí rovná součtu děl derivace každé funkce na zbývající faktory. Při hledání odvozeného součinu tří funkcí je tedy nutné odlišit každou funkci jednotlivě a poté postupovat podle uvedených kroků.
Derivace funkce a derivace multiplikátoru
Pravidlo odvozeného díla říká, že odvozený součin dvou funkcí se rovná součtu děl derivace první funkce na druhou funkci a součin první funkce na derivaci druhé funkce.
Je také třeba poznamenat, že při výpočtu odvozeného součinu tří funkcí je třeba vzít v úvahu všechny možné kombinace derivátů těchto funkcí.
Pro usnadnění výpočtu si můžete představit součin tří faktorů jako tabulku, kde bude každý multiplikátor reprezentován v samostatném řádku. V prvním sloupci tabulky budou uvedeny faktory, ve druhém sloupci jejich deriváty a ve třetím sloupci součin násobitele na jeho derivát.
| Násobitel | Derivace | Dílo |
|---|---|---|
| Multiplikátor 1 | Derivát 1 | Faktor 1 * Derivát 1 |
| Multiplikátor 2 | Derivát 2 | Faktor 2 * Derivace 2 |
| Multiplikátor 3 | Derivát 3 | Faktor 3 * Derivace 3 |
Po vyplnění tabulky je nutné složit všechna díla ze třetího sloupce. Výsledná částka bude odvozena ze tří funkcí.
Výpočet odvozeného součinu tří faktorů je tedy redukován na výpočet děl faktorů s jejich deriváty a sčítání výsledných děl.
Definice a vlastnosti odvozeného díla
Pokud máme součin tří funkcí: f (x) = g ( x) * h ( x) * i( x), odvozená tato funkce bude rovna:
| Funkce | Derivace |
|---|---|
| g(x) | f'(x) = g'(x) * h(x) * i(x) + g(x) * h'(x) * i(x) + g(x) * h(x) * i'(x) |
| h(x) | f'(x) = g(x) * h'(x) * i(x) + g(x) * h(x) * i'(x) |
| i(x) | f'(x) = g(x) * h(x) * i'(x) |
Odvozený součin tří faktorů je tedy součtem děl derivátů každého multiplikátoru se všemi ostatními neměnnými faktory.
V důsledku toho je při výpočtu derivace důležité mít na paměti, že každá z funkcí, které jsou součástí součinu, musí být v daném bodě diferencovatelná.
Když známe definici a vlastnosti odvozeného součinu tří faktorů, můžeme v dané situaci přistoupit k praktickému výpočtu derivátů.
Vzorec odvozeného součinu tří faktorů
Pro nalezení odvozeného součinu tří faktorů existuje speciální vzorec:
- Vynásobte první faktor deriváty zbývajících dvou faktorů. Výsledná díla Dejte dohromady.
- Vynásobte druhý faktor derivátem prvního a třetího násobitele. Výsledná díla Dejte dohromady.
- Vynásobte třetí faktor deriváty zbývajících dvou faktorů. Výsledná díla Dejte dohromady.
- Získané částky si mezi sebou složte.
Vzorec odvozeného součinu tří faktorů má tedy:
f'(x) = a * g'(x) * h'(x) + b * f'(x) * h'(x) + c * f'(x) * g'(x)
kde F(x), g(x) a h(x) jsou funkce, a, b A c odpovídající koeficienty a f'(x), g'(x) a h'(x) jsou deriváty těchto funkcí.
Krok 1: nalezení derivace prvního multiplikátoru
Chcete-li najít derivát prvního násobitele v součinu tří faktorů, musíte použít pravidlo diferenciace součinu.
Pokud je první faktor označen jako \(f(x)\), pak jeho derivát bude označen jako \(f'(x)\).
Pokud první faktor nezávisí na proměnné \(x\), pak jeho derivace bude nulová. V tomto případě může být vynechán krok nalezení derivace prvního multiplikátoru.
Pokud je první faktor závislý na proměnné \(x\), pak je jeho derivace vypočítána pomocí pravidla diferenciace.
Použitím pravidla diferenciace díla získáme vzorec:
\(f'(x) = f'(x) \cdot g(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g'(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g(x) \cdot h'(x)\)
- \(f'(x)\) - derivát prvního násobitele
- \(g (x)\) - druhý faktor
- \(g'(x)\) - derivát druhého násobitele
- \ (h (x)\) - třetí faktor
- \ (h'(x)\) - derivát třetího násobitele
Krok 1 tedy spočívá ve výpočtu derivace prvního multiplikátoru pomocí pravidla diferenciace součinu.
Krok 2: nalezení derivace druhého násobitele
Chcete-li najít derivát druhého násobitele, budete muset znát pravidla diferenciace a správně je aplikovat. Derivát druhého multiplikátoru je definován pravidlem diferenciace díla a pravidlem diferenciace funkce.
Pravidlo diferenciace díla zní:
| Pravidlo | Příklad |
|---|---|
| (f(x) * g(x))' | f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x) |
Pokud je druhý faktor funkcí od x, Vypočítejte derivát této funkce pomocí proměnné x a vynásobte jej prvním faktorem. Pokud je druhý faktor konstanta, derivace bude nulová, protože derivace konstanty je nulová.
Použijte pravidlo diferenciace součinu pro váš druhý faktor a pokud je to možné, usnadněte výsledek. Napište výsledný výraz jako derivát druhého násobitele.
Pokračujte dalším krokem, abyste našli derivát třetího násobitele.
Krok 3: Hledání derivace třetího multiplikátoru
Chcete-li najít derivát třetího násobitele, musíte použít pravidlo diferenciace od součinu funkcí. Pravidlo zní:
- Vezměte derivát prvního multiplikátoru a vynásobte jej deriváty druhého a třetího multiplikátoru.
- Poté vezměte derivát druhého multiplikátoru a vynásobte jej deriváty prvního a třetího multiplikátoru.
- Nakonec vezměte derivát třetího násobitele a vynásobte jej deriváty prvního a druhého násobitele.
Výsledné deriváty složte dohromady, abyste získali derivát pouze součinu tří faktorů.