Příklady řešení problémů s odvozením složité funkce

Nalezení odvozené složité funkce je jedním z důležitých úkolů v matematické analýze. Umožňuje najít rychlost změny jedné veličiny při změně druhé. Derivace složité funkce může být užitečná při řešení problémů z různých oblastí, jako je fyzika, Ekonomika, Inženýrství atd. V tomto článku se podíváme na několik příkladů řešení problémů při hledání odvozené složité funkce.

Než se pustíme do příkladů, připomeňme si některé základní pojmy. Pokud existuje funkce y = f(x), derivát této funkce f'(x) ukazuje, jak se mění hodnota funkce, když se mění její argument. Derivát složité funkce f (g (x)) lze nalézt pomocí řetězového pravidla diferenciace.

Zvažte například funkci y = (x^2 + 2x)^3. Chcete-li najít její derivát, musíte použít řetězové pravidlo: nejprve najít derivát vnější funkce (x^3) a poté derivát vnitřní funkce (x^2 + 2x), vynásobit je a složit.

Takže derivace funkce y = (x^2 + 2x)^3 se rovná součinu derivace vnější funkce a derivace vnitřní funkce: (3(x^2 + 2x)^2)*(2x + 2).

Derivace komplexní funkce: Definice a základní principy výpočtu

Definice odvozené složité funkce je založena na pravidle diferenciace složení funkcí. Pokud jsou uvedeny dvě funkce y = f(g(x)) a x=t, pak lze složitou funkci z=f(t) vyjádřit jako z=f (g (x))). Derivát funkce z proměnné x pak lze vyjádřit pomocí derivátů f 'A g'. K tomu se používá vzorec:

Chcete-li tedy najít derivát složité funkce, musíte najít deriváty každé z funkcí a poté použít výše uvedený vzorec.

Principy výpočtu odvozené složité funkce:

1. Najít derivát vnější funkce (f') a vnitřní funkce (g').
2. Nastražte hodnoty vnitřní funkce (G(x)) a její derivace(g') do vzorce: z'=(f'(g(x)))*(g'(x))).
3. Vypočítat hodnotu odvozené složité funkce.

Příklad výpočtu odvozené složité funkce:

• Funkce y = (4x^2-3x+2)^3
• Vyjádřeme tuto funkci jako kompozici dvou funkcí: f (g (x))=(g (x))^3, kde g (x)=4x^2-3x + 2
• Najdeme deriváty vnější funkce f'(g (x)) a vnitřní funkce g'(x)
• Dosadíme hodnoty g (x) a g'(x) do vzorce odvozené složité funkce: z '=(f '(g (x)))*(g'(x)))
• Vypočítáme hodnotu odvozené složité funkce.

Pochopení definice a principů výpočtu odvozené složité funkce je tedy nezbytné pro úspěšné řešení matematických analýz a aplikace matematiky ve vědeckém a inženýrském výzkumu.

Příklad řešení problému hledání odvozené složité funkce pomocí řetězového pravidla

• funkce f(x) = sin(4x^3 - x^2 + 2x),
• funkce g(x) = 2 - 3x.

Najděte derivát složité funkce h(x) = f(g(x)) pomocí řetězového pravidla:

1. Najdeme odvozenou funkci f(x):
   • Uplatněním pravidla diferenciace složité funkce najdeme derivát vnitřní funkce:
   • • Nechť u = 4x^3 - x^2 + 2x, tehdy du/dx = 12x^2 - 2x + 2.
   • Uplatněním pravidla diferenciace sinusu najdeme derivaci vnější funkce:
   • • Nechť v = sin(u), tehdy dv/du = cos(u).
   • Pomocí řetězového pravidla najdeme odvozenou funkci f(x):
   • • df/dx = dv/du · du/dx.
2. Najdeme odvozenou funkci g(x):
   • Uplatněním pravidla diferenciace lineární funkce najdeme derivát:
   • • dg/dx = -3.
3. Pomocí řetězového pravidla najdeme odvozenou funkci h(x):
   • dh/dx = df/dx · dg/dx.
4. Dosadíme hodnoty derivátů a funkcí do výsledného výrazu a zjednodušíme jej:
   • dh/dx = (dv/du · du/dx) · dg/dx,
   • dh/dx = (cos(u) · (12x^2 - 2x + 2)) · (-3).
5. Zjednodušíme výsledný výraz:
   • dh/dx = -3(cos(u) · (12x^2 - 2x + 2)).

Derivace složité funkce h(x) = f(g(x)) rovná -3(cos(u) · (12x^2 - 2x + 2)).