Derivát funkce - to je jeden ze základních pojmů diferenciálního počtu. Umožňuje najít rychlost změny hodnoty funkce v každém bodě její definiční oblasti. K tomu je nutné najít derivát funkce podle proměnné x.
K nalezení odvozené funkce, která splňuje podmínky f(2)=3 A f (2)=5, je nutné použít pravidla diferenciace. Nechť je dána funkce f(x), která splňuje podmínky f(2)=3 A f (2)=5. Najdeme její derivát.
Derivát funkce f(x) je označen jako f '(x) nebo dy/dx a je definován následovně: f '(x) = lim (h → 0) (f(x+h) - f (x))/h, kde h je nekonečně malá veličina.
Zahájení řešení problému
K nalezení odvozené funkce f(x) splňující podmínky f(2) = 3 a f'(2) = 5, můžeme použít vzorec pro odvozenou funkci.
Vzorec odvozené funkce f(x) vypadat:
f'(x) = lim[h->0] [f(x + h) - f(x)] / h
Pro nalezení derivátu se nejprve podíváme na funkci f(x) v bodě x = 2. Použití podmínky f(2) = 3, můžeme najít význam f(2). Poté pomocí podmínky f'(2) = 5, můžeme najít hodnotu derivace f'(x) v bodě x = 2.
Takže najít odvozenou funkci f(x) splňující podmínky f(2) = 3 a f'(2) = 5, musíme zvážit hodnotu funkce a hodnotu její derivace v bodě x = 2.
Formulace podmínek úkolu
Úkolem je najít derivátovou funkci f(x) splňující následující podmínky:
| Podmínka | Hodnota |
|---|---|
| f(2) | 3 |
| f'(2) | 5 |
Hledáme funkci f(x) 00: 03: 55takže se rovná 5 v bodě x = 2 a samotná funkce bere hodnotu 3 ve stejném bodě.
Hledání odvozené funkce f (x) za daných podmínek
K nalezení odvozené funkce f(x), která splňuje podmínky f(2) = 3 A f (2) = 5, je nutné použít základní definici derivace a metodu řešení systému rovnic.
- Nejprve vytvoříme rovnici pro odvozenou funkci f'(x) podle definice:
f'(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)]/h - Poté vložíme hodnotu x=2 do této rovnice:
- Nyní máme systém dvou rovnic se dvěma neznámými:
- První podmínka: f (2) = 3
- Druhá podmínka: f'(2) = lim(h→0)[f(2+h) - f(2)]/h = ?
- Tento systém rovnic vyřešíme pomocí substituční metody nebo metody vyloučení. Najdeme hodnoty f ' (2) a f (x).
Hledání odvozené funkce f(x), která splňuje podmínky f(2) = 3 A f (2) = 5, je tedy založeno na definici derivace a řešení systému rovnic.
Řešení systému rovnic
Abychom vyřešili systém rovnic, který nastavuje podmínky na derivaci funkce f (x), musíme najít funkci, která tyto podmínky splňuje. Můžeme použít metodu diferenciace k nalezení odvozené funkce.
Pokud jde o podmínku úlohy, bod x=2 je zvláštní, protože pro něj existují dvě různé hodnoty funkce f(x): f(2)=3 A f(2)=5. Musíme najít funkci, jejíž derivát přijímá tyto hodnoty v bodě x=2.
K nalezení odvozené funkce můžeme použít pravidlo odvozené složité funkce. Úloha spočívá v nalezení funkce f (x), jejíž derivace je 3 Při x=2 a rovná se 5 při x=2.
Získáním odvozené funkce můžeme vyřešit výsledný systém rovnic a najít konkrétní hodnotu funkce f(x), která splňuje dané podmínky. Najdeme tedy funkci f(x), jejíž derivát splňuje podmínky f(2)=3 A f (2)=5.
Kontrola správnosti rozhodnutí
Aby bylo řešení korektní, je třeba zkontrolovat, zda hodnoty funkce f(x) nalezené derivátem odpovídají daným podmínkám f(2)=3 A f(2)=5. K tomu použijeme odvozenou funkci a najdeme hodnoty funkce v bodě x=2.
Na základě podmínek, f(2)=3 A f (2)=5. Je zřejmé, že jde o rozpor, protože hodnota funkce v bodě x=2 nemůže být současně 3 a 5.
Řešení nalezené pomocí derivátu je tedy nesprávné a nesplňuje dané podmínky. Je třeba přehodnotit metody řešení a najít jinou funkci f(x), která splňuje podmínky f(2)=3 A f(2)=5.