Čtyřúhelník - jeden ze základních geometrických tvarů, které se vyskytují všude v našem každodenním životě. Najdete je v domě, na ulici, ve stavebnictví a dokonce i v přírodě. Hlavními charakteristikami čtyřúhelníků jsou úhly a strany, které určují jejich tvar a velikost. Pro úplný popis čtyřúhelníku je však nutné jej znát také úhlopříčka.
V tomto článku se podíváme, jak najít obvod čtyřúhelník na daných úhlopříčkách. K tomu existuje několik vzorců, které budou užitečné při řešení těchto úkolů. Před zahájením práce je nutné se ujistit, že úhlopříčky daného čtyřúhelníku jsou protínající se a jsou známy jejich hodnoty.
Vzorec pro nalezení obvodu čtyřúhelníku diagonálně:
obvod = 2 * (√((diagonal1^2 + diagonál2^2))
kde úhlopříčka1 a úhlopříčka2 - hodnoty daných úhlopříček.
Vezměme si příklad. Ať máme čtyřúhelník s danými hodnotami úhlopříček – úhlopříčka1 = 5 a úhlopříčka2 = 7. Pomocí vzorce najdeme obvod tohoto čtyřúhelníku:
perimetr = 2 * (√((5^2 + 7^2)) = 2 * (√(25 + 49)) = 2 * (√74) = 2 * 8.60 ≈ 17.20
Obvod čtyřúhelníku s danými hodnotami úhlopříček 5 a 7 rovná se přibližně 17.20 jednotka délky.
Nyní máte znalosti, jak najít obvod čtyřúhelníku na daných úhlopříčkách. K řešení těchto úkolů můžete použít uvedený vzorec a uvést je do praxe.
Čtyřúhelníky a jejich vlastnosti
- Součet vnitřních úhlů: Ve čtyřúhelníku je součet vnitřních úhlů vždy 360 stupňů. Tato vlastnost se týká všech typů čtyřúhelníků.
- Součet úhlopříček: V libovolném čtyřúhelníku se součet úhlopříček rovná součtu jeho stran.
- Součet opačných úhlů: V rovnoběžníku a lichoběžníku je součet úhlů, které leží naproti sobě, vždy 180 stupňů.
- Paralelní strany: V rovnoběžníku jsou opačné strany vždy rovnoběžné. V lichoběžníku je jeden pár protilehlých stran také rovnoběžný.
- Další úhly: V obdélníku a kosočtverci jsou další úhly vždy 90 stupňů.
Čtyřúhelníky mohou být různých typů v závislosti na jejich tvaru a vlastnostech. Každý typ má své vlastní vlastnosti a specifické vlastnosti, které je třeba vzít v úvahu při výpočtu obvodu nebo jiných parametrů.
Obvod čtyřúhelníku
Pokud jsou známy délky úhlopříček-d1 a d2, můžete použít následující vzorec:
Obvod = 2√(d12 + d22)
Pokud jsou známy délky úhlopříček-d1, d2 a úhel mezi nimi-α, lze použít následující vzorec:
Obvod = 2√(d12 + d22-2d1d2cos (α))
Ať máme čtyřúhelník s úhlopříčkami 5 a 8. Tehdy:
Perimetr = 2√(52 + 82) = 2√(25 + 64) = 2√89 ≈ 18.87
Obvod tohoto čtyřúhelníku je tedy přibližně 18.87.
Hledání obvodu přes úhlopříčky
Úhlopříčka je segment, který spojuje dva nesedící vrcholy čtyřúhelníku. V případě čtyřúhelníku ABCD lze jeho úhlopříčky označit jako AC a BD.
Pro nalezení obvodu čtyřúhelníku přes úhlopříčky lze použít následující vzorec:
| Obvod čtyřúhelníku | = Součet délek jeho stran | = AB + BC + CD + DA |
Pokud jsou úhlopříčky čtyřúhelníku známé, lze pomocí nich najít délky jeho stran a poté je složit, aby se získal obvod.
Zvažte například čtyřúhelník ABCD, který zná délky jeho úhlopříček AC = 6 a BD = 8:
| BC | = Délka úhlopříčky | - Délka AC | = 8 - 6 | = 2 | ||
| AB | = Délka úhlopříčky | - √(BC² + AC²) | = 8 - √(2² + 6²) | = 8 - √(4 + 36) | = 8 - √40 | = 8 - 2√10 |
| CD | = Vzdálenost mezi zbývajícími vrcholy | = Délka BD | = 8 | |||
| DA | = Vzdálenost mezi zbývajícími vrcholy | = Délka AC | = 6 |
Nyní, když jsou známy délky všech stran čtyřúhelníku, je možné je složit, aby se našel jeho obvod:
| Obvod čtyřúhelníku | = AB + BC + CD + DA | = 8 - 2√10 + 2 + 8 + 6 | = 24 - 2√10 |
Obvod čtyřúhelníku ABCD je tedy 24-2√10.
Vzorec pro nalezení obvodu
Obvod čtyřúhelníku lze nalézt podle vzorce, který využívá délky jeho úhlopříček. Chcete-li to provést, musíte znát délky všech čtyř úhlopříček, označte je jako d1, d2, d3, d4.
Vzorec pro nalezení obvodu čtyřúhelníku:
| Obvod = d1 + d2 + d3 + d4 |
Použitím tohoto vzorce lze snadno najít obvod čtyřúhelníku, protože znáte délku jeho úhlopříček.
Například nechte nastavit čtyřúhelník s následujícími délkami úhlopříček: d1 = 5, d2 = 7, d3 = 6, d4 = 4. Použitím obvodového vzorce získáme:
| Perimetr = 5 + 7 + 6 + 4 = 22 |
Obvod tohoto čtyřúhelníku je tedy 22.
Příklady řešení
Na několika příkladech najdeme obvod čtyřúhelníku určeného úhlopříčkami:
Příklad 1:
Je dán čtyřúhelník ABCD, ve kterém je známo, že úhlopříčky AC a BD se protínají v bodě O. hodnoty délek úhlopříček jsou AC = 6 cm a BD = 8 cm.
K nalezení obvodu čtyřúhelníku budeme potřebovat znalost délek stran a úhlů daného tvaru. Použijeme větu kosinů pro trojúhelník AOB, kde AB je strana čtyřúhelníku, OB a OA jsou půlky úhlopříček.
Podle kosinusovy věty:
Nastražíme známé hodnoty a najdeme stranu AB:
Když vyřešíme rovnici, dostaneme:
AB^2 = 9 + 16 - 24 * cos(O)
AB^2 = 25 - 24 * cos(O)
AB^2 ≈ 1
Ab ≈ 1 cm
Strana AB je tedy přibližně 1 cm. obvod čtyřúhelníku se rovná součtu délek všech jeho stran:
P = AB + AC + BD + CD
P ≈ 1 + 6 + 8 + CD
Obvod čtyřúhelníku bude záviset na délce poslední strany CD, která je v tomto příkladu neznámá.
Příklad 2:
Zvažte čtyřúhelník EFGH, ve kterém jsou úhlopříčky EF a GH 7 cm a 10 cm.
Opět použijeme kosinovou větu pro trojúhelník EGH:
Tím, že nastavíme hodnoty, získáme:
EG^2 = 7^2 + 10^2 - 2 * 7 * 10 * cos(G)
EG^2 = 149 - 140 * cos(G)
Najdeme úhel G pomocí věty sinus v trojúhelníku EGH:
Po nastražení známých významů najdeme úhel G:
Úhly trojúhelníku EGH se sečtou na 180 stupňů, takže můžeme najít úhel E:
Nyní pomocí kosinové věty pro trojúhelník EFG:
Nastražíme hodnoty a najdeme stranu FG:
Vyřešením rovnice najdeme stranu FG:
Strana FG je tedy přibližně stejná jako kořen 20 cm. obvod čtyřúhelníku bude roven:
P = EF + FG + GH + EH
P ≈ 7 + √20 + 10 + EH
Obvod čtyřúhelníku závisí na délce poslední strany EH, která je v tomto příkladu neznámá.
Příklad 3:
Řekněme, že máme čtyřúhelník IJKL, ve kterém jsou známé úhlopříčky IK = 5 cm a JL = 9 cm.
Použijeme kosinovou větu pro trojúhelník IJK:
Nastražíme hodnoty a najdeme stranu JK:
Když vyřešíme rovnici, dostaneme:
JK^2 ≈ IJ^2 - 10 * IJ * cos(K) + 25
JK^2 ≈ 25 - 10 * IJ * cos(K)
Najdeme úhel K pomocí věty sinus v trojúhelníku KIJ:
Nastražíme známé hodnoty a najdeme úhel K:
Úhly trojúhelníku KIJ se sečtou na 180 stupňů, takže můžeme najít úhel I:
Nyní použijeme kosinovou větu pro trojúhelník JKL:
Nastražíme hodnoty a najdeme stranu IJ:
Vyřešením rovnice najdeme stranu IJ:
IJ^2 ≈ 81 + JK^2 - 18 * JK * cos(L)
IJ^2 ≈ JK^2 - 18 * JK * cos(L) + 81
IJ ≈ √(JK^2 - 18 * JK * cos(L) + 81)
Strana IJ je tedy přibližně stejná jako kořen z (JK^2 - 18 * JK * cos(L) + 81) viz. Obvod čtyřúhelníku bude roven:
P = JK + KL + JL + IJ
P ≈ JK + KL + 9 + √(JK^2 - 18 * JK * cos(L) + 81)
Obvod čtyřúhelníku bude záviset na délce poslední strany KL, která je v tomto příkladu neznámá.
Může se vám také líbit
Jak najít obvod čtyřúhelníku podle souřadnic
Obvod čtyřúhelníku je jedním z nejdůležitějších parametrů, které popisují tento geometrický tvar. Hledání obvodu čtyřúhelníku podle jeho souřadnic.
Žebříčky amatérského stolního tenisu
Stolní tenis je jednou z nejoblíbenějších a nejzajímavějších her, kterou můžete hrát jak pro profesionála, tak pro amatéra. V každém sportu je.
Jak vytvořit skrytou roli v Discordu
Discord je populární komunikační platforma, která uživatelům umožňuje vytvářet komunity a organizovat komunikaci prostřednictvím textových zpráv.
Různé zábavy a koníčky-co přitahuje lidi na cestách
Když se vydáme na výlet, nehledáme jen nezapomenutelná místa a zajímavé památky, ale také hledáme sami sebe. Protože cestování dává.
- Zpětná vazba
- Uživatelská smlouva
- Zásady ochrany osobních údajů