Pravoúhlý trojúhelník je trojúhelník, který má jeden z úhlů 90 stupňů. Tato postava má řadu specifických vlastností a liší se od běžného trojúhelníku. V pravoúhlém trojúhelníku se rozlišuje přepona a katety, které jsou jeho stranami. Vrchol, proti kterému se nachází pravý úhel, se nazývá pravý úhel.
Při řešení geometrických problémů spojených s pravoúhlými trojúhelníky může nastat situace, kdy je známa pouze jedna ze stran trojúhelníku a úhel, který je obdélníkový. Ale nezoufejte! Existuje metoda, která umožňuje vypočítat zbývající strany trojúhelníku a vyřešit daný problém.
Pro nalezení stran pravoúhlého trojúhelníku na jedné ze stran a hodnoty cos úhlu lze použít kosinus větu. Podle této věty se čtverec délky jedné ze stran rovná součtu čtverců délek dalších dvou stran mínus zdvojnásobený součin délek těchto stran na kosinus úhlu mezi nimi.
Pomocí této věty lze vyjádřit délky katetů pravoúhlého trojúhelníku prostřednictvím známých hodnot a obrátit se na hlavní trigonometrické funkce, aby se našla hodnota kosinu úhlu.
Hledání stran pravoúhlého trojúhelníku
K nalezení délek stran pravoúhlého trojúhelníku na známé straně a kosinu úhlu lze použít kosinus větu. Tato věta spojuje délky stran trojúhelníku s kosinusy jeho úhlů.
Začněme vzorcem kosinové věty:
| c 2 = a 2 + b 2 - 2ab * cos(C) |
- C-přepona pravoúhlého trojúhelníku
- a, B - katety pravoúhlého trojúhelníku
- C-úhel mezi přeponou a jedním z katetů
K nalezení délek stran nalezeného vzorce je zapotřebí hodnota přepony a hodnoty dvou úhlů, z nichž jeden může být roven 90 stupňům. Pomocí významu známé strany a úhlu můžeme vyjádřit druhou stranu prostřednictvím hodnoty přepony a kosinové věty.
Když známe hodnoty stran pravoúhlého trojúhelníku, můžeme použít jiné matematické vzorce k nalezení plochy, obvodu a dalších charakteristik tohoto trojúhelníku.
Jedna strana a cos úhel
Pokud je známa jedna strana pravoúhlého trojúhelníku a hodnota kosinu jednoho z jeho úhlů, lze najít hodnoty ostatních stran trojúhelníku. K tomu je třeba použít trigonometrické Poměry.
Strana trojúhelníku, kterou známe, se jmenuje c a význam kosinus úhlu α rovná se cosα. Pak můžete použít následující vzorec:
Kde a - hodnota přepony trojúhelníku, kterou je třeba najít. K tomu je nutné znát hodnotu jiného úhlu (například 90°) a použít poměr cosα = a/c.
Pomocí hodnoty strany a hodnoty kosinu úhlu lze tedy najít hodnotu přepony a dalších stran pravoúhlého trojúhelníku.
Známá je jedna strana a úhel
Pokud je známa jedna strana a úhel pravoúhlého trojúhelníku, lze pomocí trigonometrických funkcí najít ostatní strany.
Nechť je dána strana trojúhelníku a A úhel mezi touto stranou a přeponou α.
K nalezení přepony trojúhelníku h lze použít vzorec:
h = a / cos(α)
K nalezení druhého katetu trojúhelníku b lze použít vzorec:
b = a * tan(α)
Tím, že znáte jednu stranu a úhel pravoúhlého trojúhelníku, najdete všechny jeho strany.
Použití Pythagorovy věty
V pravoúhlém trojúhelníku se čtverec délky přepony rovná součtu čtverců délek katetů. To znamená, že pokud a A b jsou délky katetů a c je délka přepony, pak se provádí rovnost
Pythagorova věta se poměrně snadno používá a nachází široké uplatnění při řešení různých problémů souvisejících s pravoúhlými trojúhelníky. Umožňuje najít délku stran trojúhelníku, pokud je známa délka jedné ze stran a hodnota jednoho ze tří hlavních trigonometrických vztahů: sinus, kosinus nebo tangens.
Pomocí Pythagorovy věty lze vyjádřit délku chybějící strany trojúhelníku prostřednictvím známých dat. Pokud je například známa hodnota jedné ze stran a kosinus úhlu, lze nalézt délku druhé strany trojúhelníku. K tomu si můžete vzpomenout na základní trigonometrické Poměry: kosinus úhlu se rovná poměru délky předmětu k přeponě. Pomocí Pythagorovy věty lze vytvořit rovnici a vyjádřit neznámou délku.
Příklad:
Nechť máme pravoúhlý trojúhelník, ve kterém je délka jednoho katetu a = 3 cm a kosinus úhlu mezi katetami je cos(α) = 0,6. Najdeme délku přepony c.
Pomocí Pythagorovy věty získáme:
Poté pomocí hodnoty kosinu a poměru mezi katetou a přeponou získáme:
Délka přepony trojúhelníku je tedy 5 cm.
Pythagorova věta platí nejen pro pravoúhlé trojúhelníky, ale také pro jiné geometrické tvary, jako jsou čtverce.
Vzorec pro nalezení jiných stran
K nalezení zbývajících stran pravoúhlého trojúhelníku, pokud je známá jedna ze stran a kosinus úhlu na této straně, lze použít následující vzorec:
Pro nalezení katetrů:
Pro nalezení přepony:
Kde: a-známá strana a A B - úhly na této straně, CS - kosinus úhlu, C - ostrý úhel.
Tento vzorec umožňuje rychle a přesně najít hodnoty ostatních stran pravoúhlého trojúhelníku, přičemž zná pouze jednu z nich a hodnotu kosinu úhlu na této straně.
Příklad 1: nalezení strany as
K nalezení strany AC pravoúhlého trojúhelníku na jedné z jeho stran a kosinu úhlu a lze použít vzorec:
| Formule | Označení |
|---|---|
| AC = AB / cos(A) | AC-strana as |
Pro příklad zvažte trojúhelník ABC, kde úhel a je 30 stupňů a strana AV je 10.
Pomocí vzorce lze najít stranu as:
Délka strany AS je tedy přibližně 11.547.
Příklad 2: nalezení strany vs
Předpokládejme, že máme obdélníkový trojúhelník ABC. Je známa délka jedné z jeho stran a také hodnota kosinu úhlu mezi touto stranou a přeponou.
Strany trojúhelníku označíme následovně:
- strana AB-a
- strana BC-b
- strana AC (přepona) - c
Také označíme úhel BAC následovně:
Je známo, že kosinus úhlu α se rovná poměru strany AB (a) k přeponě AC (c):
cos α = a / c
Nyní můžeme vyjádřit stranu BC (b) prostřednictvím známých významů:
b = c * cos α
Můžeme tedy najít hodnotu strany BC (b) pomocí délky strany AC (c) a hodnoty kosinu úhlu α.
Zvláštní případ: pravoúhlý trojúhelník s katetami rovnými 1
V takovém trojúhelníku je jeden z úhlů rovný a další dva rohy se sečtou na 90 stupňů. Katety, které leží v pravém úhlu, jsou 1, zatímco přepona může být nalezena pomocí Pythagorovy věty:
a^2 + b^2 = c^2
Kde a A b jsou katety a C je přepona.
Když nastavíme hodnoty katetů, dostaneme:
1^2 + 1^2 = c^2
2 = c^2
V pravoúhlém trojúhelníku s katetami rovnými 1 se tedy délka přepony rovná √2.
Tento zvláštní případ je důležitý při řešení geometrických problémů a lze jej použít k nalezení dalších stran trojúhelníku nebo k výpočtu hodnot trigonometrických funkcí úhlů.
Zvláštní případ: pravoúhlý trojúhelník je rovnoramenný
Pravoúhlý trojúhelník se nazývá rovnoramenný, pokud jsou jeho dvě strany stejně dlouhé. V tomto trojúhelníku mají úhly na základně stejné hodnoty.
K nalezení stran pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku na dané straně a hodnotě cos úhlu lze použít následující vzorce:
1. Délka jedné ze stran se rovná dané straně, protože trojúhelník je rovnoramenný a jeho dvě strany jsou stejné.
2. Délka druhé strany se rovná součinu délky dané strany na hodnotu cos úhlu.
3. Délka přepony (báze) se rovná součinu délky dané strany na hodnotu sin úhlu.
Pokud je nastavena strana trojúhelníku a = 5 cm a cos úhlu a = 0.6, pak
délka strany b = a * cos(a) = 5 * 0.6 = 3 cm,
délka strany c(přepony) = a * sin (a) = 5 * 0.8 = 4 cm.